PREMIÈRE PARTIE. 77 
réunit la partie négative donnée par Fegalité /— 3— 4, le résultat 
final est 
[U.] ?(t- î )-(t + 13 )- 
Ce résultat est positif, et l’examen comparatif de [U J et de 4^—(—2 donne les états 
suivants : 1 0 Si 4=0, on a [UJ >4</-f-2, si <7>5; 2° si 4=1, on a [U,] ^>hq-1-2, 
si q > 9; 3° si 4 = 2, on a [UJ >>4^-j-2, si q > 22; 4° si 4 = 3, le nombre 
[UJ n’est pas supérieur à kq-\- 2; mais le raisonnement admet seulement la su 
périorité de ce nombre sur le nombre /•, et nous pourrions reproduire ici l’ob 
servation faite dans la partie analogue du cas précédent. 
Conclusion générale. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, une 
équation ¿r 2 , y\ admettons, ce qui est permis, l’état positif des 
nombres P et l’exactitude de l’égalité r < P : si l’équation proposée est pos 
sible , les raisonnements qui précèdent constatent l’existence d’un nombre 
entier P.m, le facteur 
m inférieur h ^-{-3 fi 11 * vérifie 1 une des trois égalités 
suivantes : 
[il 
P. m—I 2 . /•= R 2 
P] 
P.m — 2 2 . /’= R 2 
[3] 
P.m — 3 2 . r = R 2 , 
le nombre R étant entier, la proposition réciproque est également vraie. 
Les tables précédentes, applicables à l’équation r = P .y, ont été 
calculées en employant la relation unique, qui a lieu entre une solution cer 
taine h et toutes les solutions liées à celle première solution de l’équation pro 
posée, en substituant successivement à N et à N ; la suite naturelle 0, 1,2, 3, 
4, etc.; les expressions littérales tv +1 , 9 2k '+i (expressions relatées n° 34) 
représentent, dans les conditions actuelles, tous les nombres entiers qui peuvent, 
après extraction de la racine carrée, donner un reste caractérisé par la for 
mule r. Q 2 , le nombre Q étant entier, par conséquent si une des égalités pré 
cédentes [1], [2], [3], l’égalité [3], par exemple, est exacte, on est certain que 
le nombre P . m occupe une place dans les tables et par suite la fonction de n 
correspondante, fonction qui représente la racine carrée de P.m, doit, si elle est 
égalée au nombre entier R, donner à n l’état de nombre entier, cette circon-