PREMIÈRE PARTIE. 
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difficulté qu elle présente est essentiellement théorique, plutôt apparente que 
réelle ; on peut d’ailleurs toujours l’éviter en opérant, s’il y a lieu, la transfor 
mation de l’équation proposée, c’est-à-dire en changeant cette équation en une 
autre, dans laquelle le coefficient de l’inconnue auxiliaire est un nombre pre 
mier absolu : la dernière partie de l’explication précédente donne tous les 
éléments nécessaires pour opérer cette transformation ; cette dernière partie 
donne aussi, connaissant un système-solution de l’équation transformée, le 
moyen de constater la possibilité ou l’impossibilité de résoudre, en nombres 
entiers, l’équation proposée. 
L’emploi du tableau VII amène donc toujours une solution de l’équation pos 
sible a?-\-r=.P.j- ; or, cette circonstance meme indique, entre les nombres 
qui constituent une solution, une’relation dont l’élégance et la sim 
plicité nous paraissent remarquables, tout système-solution vérifie l’égalité 
r=P. en d’autres termes, dans les conditions précitées, le pre 
mier membre de l’équation résolue présente la forme j—/’, et ce nombre est 
égal au produit d’un multiple exact de P, par un nombre dont la forme est 
exactement celle que présentait le nombre entier x 2 ~\~ r - 
47. La recherche des solutions, en nombres entiers, de l’équation x^-\-r=P.j-, 
est donc remplacée par cette autre recherche, constater la possibilité ou l’im 
possibilité de l’une des trois égalités [A] 
[1] 
P. m— I 2 . r = R 2 
[2] 
P. m — 2 2 . /’ = R 5 
[3] 
P .m — 3 t .r = W 
parmi les procédés que le lecteur peut employer, nous indiquerons le procédé 
suivant, qui nous a paru réunir les conditions de célérité et de certitude pra 
tiques que l’on demande à ce genre de calcul; remarquons 1° que le chiffre 
des unités d’un carré exact entier est 1, 4, 6, 9, 5, 0; 2° que le chiffre des 
unités d’un carré exact entier étant 0 ou 5, le chiffre des dizaines de ce même 
carré est 0 ou 2; 3° que le nombre entier m est inférieur à — —|— 3. 
Essai relatif à l’une des égalités [A], par exemple à la première de ces égalités;