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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
laquelle représente toutes les équations incomplètes du second degré à deux in 
connues qui ne renferment que le carré d’une variable. Posons les égalités 
[M] X = Î=£ àa\ = z-, 
l’équation [A] devient 
[ B] f -|-(4<26* ff) — P . Z, 
Nous avons, dans les n os qui précèdent, tous les éléments nécessaires pour ré 
pondre à ces deux questions : la résolution, en nombres entiers, de l’équation 
[B] est-elle possible? Et si la réponse est affirmative, quels sont les nombres en 
tiers t et z qui donnent un système-solution de cette meme équation ? Enfin rap 
pelons que le premier système-solution connu étant t et z, les formules 
[H] T = P(N —f-1 ) — t 
[K] z = P(N + 1) 2 — 2<N + 1) + * 
représentent, n° 39, tous les systèmes-solutions applicables à l’équation [B]. 
Les égalités [M] montrent que l’état entier attribué à chaque partie du sys 
tème X, Y de l’équation primitive proposée donne le même état entier à chaque 
partie du système correspondant T, Z; mais, et pour nous ce point est capital, 
les réciproques sont, en général, inexactes, et il faut rechercher parmi les sys 
tèmes-solutions T et Z ceux qui donnent l’état-entier, 1° à X, 2° à Y: la première 
recherche ne présente aucune difficulté, elle est liée à une équation d’analyse 
indéterminée du premier degré obtenue en remplaçant dans la première des 
égalités [M] la lettre t par la valeur générale T=P(N-j-1)—en d’autres 
termes, cette recherche est la résolution, en nombres entiers, de l’équation 
[G] 2 aX = P(N +1 ) — t— b. 
Si on désigne par X et N un système-solution de cette équation, la seconde re 
cherche est le résultat de la substitution de N dans l’égalité [K] ; ce résultat en 
tier numérique, représenté par Z, est toujours un multiple de 4«, et, par suite, 
Z 
donne le nombre entier Y=è — , lequel complète le système-solution X, Y de 
l’équation primitive proposée ; cette dernière proposition est manifestement une 
conséquence des transformations opérées; elle peut néanmoins être démontrée