Nähere Untersuchung der Werthe von a, ß, y.
Die beiden elliptischen Integrale mit den Parametern y ± , y, gehören somit zur
zweiten und dritten Klasse (§. 19).
Da y 2 — 1, so ist nothwcndig
k
Da ferner
— k J k' 2 ß = (k 3 + y) {v 2 + 2 k 2 v cos e + k 4 ),
so ist für y — yi die zweite Seite positiv, für y = y 2 aber negativ, so dass
A<0, ft>0.
Nur in besondern Fällen können diese letztem Grössen Null werden.
Was weiter die in II betrachtete Grösse
1 + a sin 2 ft
betrifft, so kann sie nur Null werden, wenn auch
(1 + « sin 2 fl) 2
es werden kann. Letzteres ist aber nur möglich, wenn
[(1 + v cos e sin 2 fi) 2 + (v sin t sin 2 fi) 2 ] (1 + y sin 2 ft) — ß sin 2 /t cos 2 /i
Null sein kann. Für ß — ß ± ist diess nicht zulässig, da ß t <C0. Demnach kann
1 ■+■ « t sin 2 ft
nie Null sein, wenn fi von 0 bis | rt geht. Die erste der Formeln in V führt auf
das Integral mit dem natürlichen Logarithmus, wo also thatsächlich z nie unendlich
wird. Aber auch 1 -+-ßi z 2 bleibt für jedes fi selbst positiv. Denn es ist
lß z 3 (2 + cc sin 2 fi) 3 (1 — k 3 sin 2 fi) + ß sin 2 fi cos 2 fi
(1 + asin 2 ft) 2 (l — k ? sin 2 ft)
_ [(1+ v cos s sin 2 ft) 2 (v sine sin 2 fi) 2 ] (1+ y sin 2 ft)
(1 + u sin 2 ft) 2 (1 — k■ sin 2 fi)
welche Grösse, wie wir unmittelbar ersehen, unbedingt positiv ist.
VII. Unsere Ableitung setzt wesentlich zwei verschiedene Werthe von «voraus,
von denen keiner Null ist. Wir müssen die Möglichkeit einer Ausnahme in dieser
Beziehung ebenfalls noch prüfen (da einer der Werthe Null ist).'
Es führt diess auf die Betrachtung der Fälle
v 2 + 2vk 3 cose-|-k 3 = 0, oder v 2 2 v cos e + k 3 = 0,
wo jedoch der erste unzulässig ist, indem
v* -i-2k 2 vcos e -j- k 2 = v 2 — 2k 2 j> -h ik 2 v cos 2 i e + k 2
— (v — k“) 2 + k” (1 — k 3 ) -f- 4 k 3 v cos 2 £ e
positiv ist und nie Null werden kann.
Es bleibt somit nur der Fall:
v 2 -\- 2v cos t + k 3 = 0