Bewegung des sphärischen Pendels. 
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Zerlegt man die Geschwindigkeit des Punktes nach der Ebene der xy und 
einer darauf senkrechten Geraden (projizirt sie auf die Ebene der x y), so 
dann die erste Seitengeschwindigkeit wieder in zwei, wovon die eine nach q, 
die andere senkrecht darauf gerichtet ist, so ist letztere = q —Da aber 
d t» 
wegen der letzten Gleichung (114) unveränderlich, so ist also, wenn q 
Ci u 
die nach der auf p senkrechten Richtung (in der Ebene der x y) zerlegte 
Seitengeschwindigkeit ist, nothwendig 
h = qVr 2 - f, 
wo q positiv ist, wenn diese Seitengeschwindigkeit ip zu vergrössern strebt, 
was wir annehmen wollen. Jetzt ist b > 0, also auch immer > 0. 
di 
Die Axe der x, deren Festlegung noch nicht geschehen, wollen wir in 
die Ebene legen, die durch die Anfangslage und die z Axe geht, wo dann also 
die y Axe in der horizontalen Ebene so liegt, dass xp anfänglich wächst. Die 
obige Grösse q ist dann einfach die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit 
auf die y Axe. 
II. Jetzt ist für t = 0: ip 
'l> 
0, z —y und also 
8 ß 
w 
ß z ) (2gM + a) 
0 ß 
(115) 
y (r 2 — M 3 )V(r 2 — M‘)(2git + a) - b 2 
woraus z als Funktion von t, xp als solche von z und damit von t folgen muss, 
worauf die (114) dann q, x, y geben. Die Doppelzeichen gehören zusammen, 
müssen aber entschieden bleiben, und es gilt das obere wenn z wächst mit t, 
das untere wenn z abnimmt mit wachsendem t. 
Ist b — 0, so fällt die Aufgabe mit der in §. 28 zusammen, so dass wir 
b nicht 0 voraussetzen (sondern positiv). 
III. Das erste der Integrale (115) gehört zu §.23, so dass wir zunächst 
. (r 2 — /u 2 ) (2gii + a) — b 2 (116) 
näher zu betrachten haben, ln §. 23 ist jetzt D = — 2 g. Für fi — — cc 
ist (116) positiv, für n— — r negativ, also hat die Gleichung 
(r 2 -/u 2 ) (2 gi « + a)-b 2 = 0 (1160 
eine reelle Wurzel zwischen — oc> und — r; für (x = y ist (116) 
(r 2 -y 2 ) (2gy + a) - b 2 = (r 2 — y 2 ) v 0 2 — b 2 = (r 2 — y 2 ) (v 0 2 - q 2 ) und v 0 2 >q 2 , 
also ist dieser Werth positiv; mithin liegt eine weitere reelle Wurzel zwischen 
— r und y; endlich ist (116) wieder negativ für n — r. Demnach liegen die