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Bewegung des sphärischen Pendels. 
drei reellen Wurzeln von (116'): zwischen —oo und —r, zwischen —r 
und y, zwischen y und + r. Die zweite dieser sei z L , die dritte z 2 , so dass 
— r< z i<r» ?0 3 <r, (117) 
wo — r und 4- r nicht Wurzeln sein können, da b 2 nicht Null ist. In §. 23,1 
ist jetzt c = z t , d = z 2 ; die dritte Wurzel, die unter —r ist, heisse a, so 
dass b (§. 23) = a. Wir haben somit den Fall des §. 23, I, 4 vor uns, da 
die Gränzen von fi entweder zwischen y und r oder y und — r, jedenfalls 
aber zwischen z L und z 2 liegen. Es folgt aus dieser vorläufigen Untersuchung 
aber ein Weiteres. 
Nehmen wir an, dass z anfänglich abnehme (das Pendel steige), so gilt 
anfänglich das untere Zeichen und z geht von y zu z t ; dann wird in (115) 
das obere Zeichen gelten und z von z t bis z 2 gehen (das Pendel sinken); 
hierauf wieder das untere Zeichen gelten, z von z 2 bis z t gehen, u. s, w. Es 
schwankt also das Pendel in seinen Erhebungen zwischen z t und z 2 hin 
und her. 
Ist r 0 die Zeit bis zur ersten Erhebung; t die von einer äussersten Lage 
zur nächstfolgenden, so ist 
_^ fy 8z + f z * 8z 
J ZiVir s -z s )(2gz + a)-b 3 J Zi 
W — z 3 ) (2gz + a) - b 3 
Was übrigens die Wcrthe z t , z 2 , er betrifft, so folgt aus (116')) dass immer 
, , , r 2 + Z, Zj 
z ± z 2 + z t ö + z, a = — r, a = =—*■. 
0 z t + Z 3 
Also da <! 0, z v z 2 zwischen — r 2 und + r 2 , ist nothwendig z t 4-z 2 >-0; 
ferner ist 
ar 2 —b 3 a 
, z t + z s -1- a — — —- . 
Ist 
2g 
ar s - b 2 = (r 0 2 — 2gy)r 2 - (P -f 2 )q 2 
positiv, so haben z x , z 2 verschiedene Zeichen, also 
ist aber 
so haben z t , 
also z 2 0, 
z 3 >0, z i <0; 
ar 3 — b 3 <^0, 
z 2 gleiches Zeichen und sind folglich beide positiv. 
Immerhin ist 
Sollte y eine der Wurzeln von (1160 sein, so müsste 
(r 2 - y 2 ) (v 0 2 - q 2 ) = 0 
sein. Aber y kann nie +r sein, wegen (115); also muss dann v 0 2 = q 2 sein, und 
dann ist wirklich y eine Wurzel von (116'), d. h. von 
,J,?+ §g “ ?) ~ f2 H + ( r3 - ^ 7 = °- 
Um zu entscheiden, ob jetzt y gleich z x oder z 2 sei, hat man bloss zu scheu, ob 
(116) für/x = y im Wachsen oder Abnehmen sei. Der Differentialquotient dieser 
Grösse ist für fi — y: