Die Gleichung (ip, k) + $• (ip, k) = K. 
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§• 5 ; 
Zusammenhang zweier elliptischer Integrale. 
I. In dem Integrale (19) setzen wir 
l-v 2 
= T-Tfc^ • • 
LUS 
8n (1 — k J ) v ■ , (1 — k 2 )r 2 
= —t:—. ! — /» =— rr~r> 1— k'n = 
(35) 
K' 
(1 — k 2 v 2 ) 2 
8 ix 1 — k 2 i> 2 
1 - k 2 i>- 
(1 - k 2 ) v 
1 — k 2 v 2 ’ 
1 
(1 — k 2 ) v Yl-r 2 (l — k 2 v 3 ) I Yl-v z Yl -k 2 v 2 ’ 
Für pi — o ist 'V — 1, und für ,u — x soll v = y sein, wo 
2 1 — Y s 2 1 — x 2 
x - i _ k 2 y 2 ’ 7 ~ 1 - k 2 x 2 ’ 
und y zwischen 0 und 1. Alsdann folgt aus obiger Gleichung 
p _ üji n- -8v f‘Y 8v _ 
Ja Vl— p 2 Vl.— k 2 n 2 J i Vf — V1 — k 2 * 2 J y Y^ — 1 ' 3 V1 
(350 
k 2 r 2 
d. h. 
oder 
F (x, k) = K — F (y, k), 
F (x, k) + F (y, k) = K. (36) 
Diese Gleichung lehrt zwei elliptische Integrale desselben Modulus durch ein 
ander ausdrücken. Da für x = 1 nothwendig y = 0 und dann mit abnehmendem x 
die Grösse y wächst, so kann man diese Formel zur Berechnung elliptischer Integrale 
benützen, wenn die Amplitude gross (nahe an \n) ist, wodurch dann die.Rechnung 
in der Regel noch bedeutend gekürzt wird. 
Für y = x ist x — 1 — VJi , wo jedoch blos das untere Zeichen zu neh- 
VFF* 
Zugleich ist 
men ist, da sonst x|>l; geht also x von 1 bis 
VFF 
-, so geht y von 0 bis 
2 f (\f i-Vi- k \ k) = K, f (\[k) 
y k 2 V k 2 
st 
I-fPd 
1 
Für k — sin k ist 
1— V^l — k 2 _ 1 — cosv. 
k 2 sin 2 v. ' 2 cos 2 |h V k 2 
Setzt man x = 'sincp, y = sintp, so ist 
cos 2 ip . , cos 2 <p 
r 6 — 
K... 
1 
(36') 
Y 2 COS 5 / 
sin q> = 
— , sin tp 
I — k 2 sin 2 ip 1 — k 2 sin 1 <p 
Ü (9>. k) -F $ (tp, k) = K. 
In dieser Gleichung liegen nun allerdings cp und ip zunächst zwischen 0 und |tt, 
jedoch wäre es nicht schwer, die Richtigkeit derselben auch noch für andere Gränzen