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Die Gleichung F (x, k) -+- F (y, k) = F (c, k). 
nachzuweisen. Doch wollen wir dies hier nicht thun, da wir die Frage allgemeiner 
fassen werden. 
II. Die Gleichung (36) leitet naturgemäss auf die Frage, ob sich nicht y durch 
x bestimmen lasse derart, dass 
F(x,k) + F(y,k) = C, 
wo C eine Konstante. Diese Gleichung führt durch Differenzirung auf 
1 1 
^/1—x 2 ^! — k 2 x 2 1 — y 2 1 — k 2 y 2 8 x 
eine Gleichung, die durch 
x 2 -hy 2 ±2xy V(1 — c 2 ) (I — k 2 c 2 ) — k 2 c 2 x 2 y 2 = c 2 
integrirt wird, wenn c 2 die willkürliche Konstante (Differential- und Integralrech 
nung, II. §. 101, III). Diese Gleichung heisst auch; 
y 2 (l — k 2 c 2 x 2 ) + 2xy 1^(1 — c 2 ) (1 — k 2 c 2 ) = c 2 — x 3 , 
c 2 (l — x 2 ) (1 — k 2 x 2 ) 
fy + xV(l-c 2 ) Vl-k 2 c 2 ~\ 2 _ 
V 1 — k 2 c 2 x 2 
(1—k 2 c 2 x 2 ) 2 
y (1 — k' 2 c 2 x 2 ) + x y^(l — c 2 ) (1 — k 2 c 2 ) = + c V^(l — x 2 ) (1 — k 2 x 2 ), 
wo jedoch dieZeichen sich nicht entsprechen. Nehmen wir nun künftig an, 
dass fürx = Onothwendigy=rc,so muss auf der zweiten Seite bloss das obere 
Zeichen gelten; nehmen wir dessgleichen an, dass füry = 0:x = c, so gilt 
es eben so auf der ersten Seite. Demnach hängen x und y durch die oben gefun 
dene Gleichung zusammen, wenn wir in ihr nur das obere Zeichen gelten lassen. 
Sie heisst übrigens auch 
x 2 (l — k 2 c 2 y 2 ) + 2xy j/(l — c 2 ) (1 — k 2 c 2 ) = c 2 — y 2 , 
y V(i — c 2 ) (I- 
(x + 
c*(l - y 2 ) (1 - k 2 y 2 ) 
1 — k 2 c 2 y 2 J (1 — k 3 c 2 y 2 ) 2 
x (1 — k 2 c 2 y 2 ) -+- yV(l — c 2 ) (1— k 2 c 2 ) = cl^(l— y 2 ) (1 — k 2 y 2 ). 
Also bestehen zwischen x und y die Gleichungen 
x 2 + y 2 + 2xyV^l— c 2 ) (1— k 2 c 2 ) — k 2 c 2 x 2 y 3 = c 2 , j 
y (1 — k 2 c 2 x 2 ) 4- xVG— c 2 ) (1 — k 2 c 2 ) = c \^(1 — x 3 ) (1 — k 2 x 2 ), > 
(37) 
x (1 k 2 c 2 y 2 ) —f- y ~\f (1 c 2 j (I — k 3 c 2 ) = c"\f (I — y 2 ) (1 — k 2 y 2 ), / 
und da für x — o: y = c, für y = o: x = c, so ist C = F (c, k), so dass 
F(x,k)+F(y,k) = F(c,k). (37') 
Die Grösse c kann übrigens vorläufig positiv oder negativ sein. Für c = 1 hat 
man die Gleichung (36). 
Multiplizirt man die zweite Gleichung (37) mit y, die dritte mit x und subtra- 
hirt dann beide, so ergibt sich : 
y 2 — x 2 = c[y(71- x 3 — k 2 x 2 — x V^ — y 2 V"l — k 2 y 2 ], 
y 2 — x 2 
y"\Al — x 2 Vl- k 2 x 2 — x^l — y 2 "/! — k 2 y 2