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Das Additions-Theorem für die elliptischen Integrale der ersten Art. 
wo k wie hier immer zwischen 0 und 1 liegt und alle Wurzeln nur positiv ge 
nommen sind. Diese Gleichungen folgen übrigens aus der ersten, so dass 
namentlich die zwei ersten einen einzigen, etwa zwischen —n und +n lie 
genden Winkel oo bestimmen. Die Winkel cp und ip sind dabei beliebig, und 
auch co darf als beliebig angesehen werden, immerhin freilich durch cp und ip 
bestimmt. 
Aus (39) folgt durch ^tatsächliche Ausrechnung 
(1 — k 2 sin 2 ip sin 2 ip) 2 Y1 — k 2 sin 2 ip 
d. h. wie man sofort findet: 
COS (O v 
Bei der Symmetrie der (39) nach cp und ip ergiebt sich eben so: 
1 
~y 1 — k 2 sm 2 n)^ t 1—k 2 sin’ 1 <p Yl — k 2 sin z tp 
woraus 
y/1 — k 2 sh 
wo C eine absolute Konstante. Da für cp = xp — 0 aus (39) folgt sm<x>=0, 
cosco=I, so dürfen wir auch co = 0 anuehmen. Dann ergiebt sich aus 
obiger Gleichung offenbar: 
$ (®. k) = $ (cp, k) 4- $ (*P, k). 
(40) 
Diese Gleichung setzt voraus, dass für cp = tp = 0 auch co = 0, und 
dass cp, ip, co durch die (39) Zusammenhängen. Sie ist der Ausdruck des 
Additionstheorems, 
II, Obwohl (40) ganz unbedingt gilt, so ist co doch nur vollständig aus 
(39) bestimmt, wenn dieser Winkel zwischen — n und + n liegt. Aus (40) 
ergiebt sich (§. 1, II), dass dann cp und ip zwischen — \ n und + \ n liegen 
sollen.