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Die elliptischen Funktionen. 
nebst drei andern Gleichungen, die sich durch Vertauschen von cp und ip 
daraus ergeben. 
Aus (44) ergiebt sich unmittelbar 
sin I/J [sinoocostp Y1 — k 1 sin*tp + sin tp cos a> Y 1 — k 2 sin 2 m] = sin 2 a)—sin 2 tp,\ 
r _ _ | ( 45 ) 
sin ip [sin (ü cos <p Y1 — k 2 sin 2 pp + sin tp cos ®Y 1 — k 2 sm 2 co] = sin 2 a> — sin 2 <p,' 
und ebenso _____ 
cos tp = cos tp cos co + sin tp sin a>Y 1 — k 2 sin 2 tp , 
cos tp = cos tp cos co + sin tp sin a>Y 1 — k 2 sin 2 tp. 
Die elliptischen Funktionen. 
I. Setzen wir 
$(<p,k)=u, (46) 
so heisst cp (§. 1, I) die Amplitude von u, leztere Grösse selbst das Argu 
ment. Jacobi bezeichnet^ desshalb durch amu, oder wo die Bezeichnung 
des Modulus nothig wird, durch am (u, k). 
Ist eben so 
so ist 
und wenn wir 
durch 
bezeichnen, ferner 
setzen; wo dann in §. 6 
so heissen die (39): 
sin am (u+v) = 
§ (tp, k) = v, 
tp = am v, 
Y1 — k 2 sin 2 tp — Vl~k 2 sin 2 amu 
A am u 
• U + T = VT 
co = am w = am (u + v), 
sin am u cos am v A am v + sin am v cos am u A am u 
cos am (u+v) = 
A am (u + v) = 
1 — k 2 sin 2 am u sin 5 am v 
cos am u cos am v — sin am u sin am v A am u A am v 
1 — k 2 sin 2 am u sin 2 am v 
A amu A am v — k 2 sin am u sin am v cos am u cos am v 
1 — k 2 sin 2 am u sin 2 am v 
(46') 
(47) 
und bilden die Fundamentalgleichungen für die Theorie der elliptischen 
Funktionen. 
Aus diesen Gleichungen folgt auch 
tg am u A am v + tg am v A am u 
tq am (u H- v) = 7- . 
s ' 1 — tg am u tg am y A am u A am v 
(47') 
Diese Gleichungen gelten natürlich ganz allgemein, was auch am u, 
am v seien.