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Die elliptischen Funktionen. 
sin am (K -- - u) = —, , cos am (K — u) — k' 
t sin am u 
A am u 
und wenn man hier — u für u setzt: 
sin am (K + u) == sin am (K — u) , cos am (K -f- u) = — cos am (K — u), ’ 
A am (K + u) = A am (K ~ u). 
Setzt man K — u für u: 
sin am (2 K — u) = sin am u , cos am (2 K — u) — — cos am u, A am (2 K u) ~ A am u. 
Aus (52) folgt für u = \ K — v : 
so dass wenn man die Werthe von 
sin am u, cos am u, A am u 
für u = 0 bis u = kennt, man sie sofort auch von u — t K bis K iindet. 
Mittelst (52 y ) ergeben sie sich dann bis u = 2K, und mittelst der zweiten 
(50) für alle übrigen positiven Werthe, worauf endlich wegen der ersten (50) 
diese Grössen auch für alle negativen Werthe von u bekannt sind. Da man 
immer hat, wenn u zwischen 0 und K: 
cos am u = \/ 1 — sin 2 am u, A am u = V1 - k 3 sin 2 am u , 
so genügt es also, sin am u von u — 0 bis u — i K zu kennen, um die ellip 
tischen Funktionen für alle Werthe von u zu kennen. 
Natürlich muss eine solche Berechnung für die verschiedenen Werthe 
des Modulus k auch verschieden sein. 
Aus (36') folgt übrigens 
sin am jK = 
—. ., cos am i K = yk' sin am f K , A am i K = V 7 k', 
V 1 + k' 
wie sich auch aus (52) ergiebt, wenn man dort u = \ K setzt. 
IV. Die Gleichung sin amu—a, avo a zAvischen —1 und +1, lässt für u 
unendlich viele Werthe zu. Bestimmt man zunächst einen zwischen —K und K, 
der u t heisse, so dass sin am Uj = a, so genügt man der Gleichung auch 
durch n = 2K-u ( , 4nK + u, , 4nK + 2K — u t , wo n eine positive oder 
negative ganze Zahl. 
Die Gleichung cos am u —a, wo ebenfalls a zwischen — 1 und + 1, 
liefert zunächst einen Werth zwischen 0 und 2K, der u t heisse. Alsdann 
genügen dieser Gleichung: 4K —u ls 4nK + u lt 4nK + 4K-u 1 . Die