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Das Integral E (x. k). 
und wird für x = 0 wirklich S. DifFerenzirt man nun Zähler und Nenner nach 
x, so erscheinen im Zähler, wenn wir das erste Glied einstweilen unberück 
sichtigt lassen, nur Grössen der Form 
ov t . t 8& 
2' cos S r ... sin 4., r — , 
d x 
9 g. 
in denen sin| s — 0 wird, so dass das Glied, wenn endlich bleibt, ver- 
d x 
schwindet. 
Nun ist 
. , , .8£ , , . , ,61, 
sin s = k X , cos | — = k; smS t — tg \ x lg\S, cos -^v — j— — ; 
0 X 0 X 2 005^1 0 X 
9£ 9| . 
mithin ist Tr endlich für x = 0 (— k), so dass es auch sein muss. Dann 
d x d x 
9| 
folgt weiter, dass vy 2 - in derselben Lage ist, u. s. w. Was das erste Glied 
des Zählers betrifft, so giebt dessen Differenzirung 
|^2 ^ ~ — ^ 
~===.cos S t ■ ■ COsSn+l + (1+ V 1 — k 2 x 2 ) — (cos St . . COsSn+l), 
Y i-k 2 x 3 dx 
und es wird für x = 0 diese Grösse also auch 0. Da der Differentialquotient 
des Nenners zu 1 wird, so wird mithin der Bruch selbst zu 0. 
Also, wenn man beachtet dass 
E (x, k) --- (<p, k), x = sin ip , (p zwischen —• | n und + | it: 
2 2" 2 n+1 
8, (i ff, k) = — cos x § (I n, k) [1 
COS Jt, . . . COS H„ COS K, . . COS Xn+1 
-]. (56) 
Subtrahirt man dies von obiger Gleichung: 
E (x, k) = — cos x F (x, k) [1 ——— + .. + 
cos H, 
_ YLi?l [yrzk 5 i*+1+-1-+. 
X COS St 
Aus (56) folgt, wenn wir künftig 
2“ 
2»+ 1 
COS Xt . . , COS Kn COSXt , . COSXa+i 
On-hl 
cosf,.. COsSn+ 
J, 1 > x >0. (57) 
Kl 
/ 1 n 
Y1 — k 2 sin 2 «jo 8 tp = L 
setzen: 
COS X[1 + 
■ + .. + ■ 
2 n +> 
-] = 
JE 
K ’ 
(58) 
(58') 
COS . . . COS H a COS H L . . COS X n -F 1 
so dass die (57) auch etwas anders geschrieben werden kann. Hiebei ist 
zu bemerken, dass für x = 1: g = h, g, = ist. (§. 2, VII.) 
Tn allen diesen Formeln kann man übrigens beachten, dass cos k 11+j , 
cosg n+1 gleich 1 gesetzt werden dürfen, wo dann je die zwei letzten Glieder 
sich in eines zusammenziehen. Die Formeln gelten übrigens auch noch für 
n = 0, und gerade desshalb haben wir die obige Form gewählt.