wo nun 
sin a — 1, sin « t = tg | x tg | a, sin a z = tg\ x, tg \cc l , ... 
sin £ = k x, sin £, —tg\ -Alg £ £, sin £, = ‘ x, igl^ , 
k' x k' x cos £ t ... C' S £ r 
Vnr 
Vl— x 3 
. COS « r 
Der Legendresche Satz 
Für X— I ist rj — oo, Tj t = QO, ,,, und da 1+2 + ... 2 n —2 n+1 = — 1 
„ ... 1 .. n a 
11(1,- 
+ F(l,k) 
a ' - Va ! -iyi-a 3 k ! 
a F (1, k) F(b.k') (K - L) - KE(b.k') n 
Va 3 — 1 Vl-a-k 3 
+K H—— 
K 2 Va s —1 y i-a*k* 
[F (b, k') (K-L)-KE (b, k')]- (82') 
V a 3 — 1 V 1 
a“ k 3 
Der Legendresche Satz. 
III. Setzen wir in (81') a = so ist, wegen des Faktors \ 1 —• a 2 k' 
die erste Seite Null; zugleich wird b = 1 , so dass 
arc (ty =»/) + .,. — 2"’ 4 ' 1 arc (tg — 7/ n+1 ) = F (x, k) 
— F (x, k) 
F(l,k') (K —L) - KE(l.k') 
K 
K'(K - L) - KL' 
wenn 
L '—J' \/l — k ,z sin z g'6.g. 
und zur Berechnung Von rj, .... , a = — gesetzt wird, so dass 
k 
die a unter der Annahme a 
k' x cos £, ... cos £ r 
vt _ x i cos« t ...cosa r 
berechnet. 
Setzt inan hier noch x = 1, so werden die alle oo, und da 
1 + 2 + ... + 2“ - 2 I1+1 = — 1, 
so heisst obige Gleichung 
- jTr^K'(K-L)-KL' 
d. h. 
f (I *, k) 8 (11t, k‘) + 5 (‘ it, k') % (i 7t, k) - 5 (J rf, k) $ (|. Ti, k') = $ «, (83) 
eine Gleichung, die unter dem Namen des Legendreschen Satzes bekannt ist. 
Daraus folgt aber auch 
2 K 
F (x, k) = — [arc (lg =//) + .,.+ 2" arc (tg = ^„) — 2 n+1 arc (tg — r/ 11+1 )j, (84)