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Verwandlung der elliptischen integrale dritter Art in einander. 
wir werden desshalb ans jenen Formeln andere herzustellen suchen, die ein 
Vertauschen zulassen. 
§• 16- 
Verwandlung der elliptischen Integrale dritter Art in einander. 
I. Es ist identisch 
Vl-k.V Y _1 
1 - k 2 a 2 — (1 — a 2 ) k 2 /u 2 
a 2 (l — 2k 2 /:t 2 +k 2 m 4 ) 1 
_ (a 2 - fi 2 ) LI - k'a 2 - (1 — a 2 jkV 2 ) Yi— 
Der Nenner des letzten Bruches ist 
= a 2 (l — a 2 k 2 ) (1 — /r) — |U 2 (1 — /i 2 k 2 ) (1 — a 2 ), 
wie man sich durch thatsächliche Rechnung leicht überzeugt, so dass also 
V" 1 — k 2 ytt 2 1 _j__ 1 
1 _ a 2 k 2 - (1 - a 2 )kV yfTji» a 2 -^ 2 y 
a 2 (1 - 2 kV 2 + kV) ‘ 
[a^ 1—a 2 k 2 Y 1 —fx 2 +n Y1—;u 2 k 2 Y l~a 2 ] L a V^l—a 2 k 2 Y I— n 2 —p yY^/u 2 k 2 Y1— a 2 ] 
1 
V 1 — p 2 \/1 — k 2 /* 2 
Setzt man 
iiVl^kV 2 Vi^a 2 . 8 v VY-a 2 l-2kV+kV 
V = — -z — , SO ist —- = - : — , 
a j/i — k 2 a 2 V * — M 2 ^ fl a — a 2 k 2 (l —/u 2 ) y^i—/u 2 V^l—k 2 /u 2 
so dass wenn man die zweite Seite der vorigen Gleichung U setzt, 
,ayT^äMc 2 r 1 - 2kV + kV 
J J 8» y 1 - a 2 J a-(l-a-k-; (1-n~ 
y 1 — a‘ 
(1 — ju 2 ) Y\ — p z yY — k 2 /i 2 8v 
X 
1 - 2kV-hkV Yl-/a*VY —kV 2 
= a i fl±l\ 
2 Yl-a 2 yi-a 2 k 2 Vl-ry 
) (! + *)(! — v) 
a /* 8 v 
Vi — a 2 Yl— a 2 k 2 J (1 + *) G - 
v) 
Demnach folgt aus obiger Gleichung, wenn man beiderseitig nach jw 
integrirt: 
r Vl-kV8,t r p* ö /1 
J i _ a 2 k 2 - (1 - a 2 )kV 2 yi- t i‘ J a 2 - ^ yl_, t 2 \Y_kV 
? i f 1 +r Y + c 
2 Vl-a 2 '\/]-a 2 k 2 V.1-*-/ 
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Diese wichtige Gleichung, in der