Verwandlung der elliptischen Integrale dritter Art in einander. 
Vl-k s 
1 — k 2 /x 2 
1 —a 2 k 2 —(1—a 2 )kV yi_ M 2 “1 _ a 2 k 2 -(l-a 2 )kV Vl- ja 2 Vl- k V 
[" 1 a 2 k' 2 1 
~ Li— a 2_ 1 — a 2 T 
a 2 k 2 — (1 — a 2 ) k 2 ju 
Jyi-.v 
V l-k 2 At 
wollen wir sofort weiter benützen. 
II. Will man die Integrale von 0 bis x nehmen, so muss wegen des 
zweiten und wegen der zweiten Seite, wenn a und x zwischen 0 und 1 sein 
sollen, nothwendig a > x sein. Dann erhält man (§. 11, II): 
i a 2 k' 2 
1— a 
i F (x, k) — 
(1 — a 2 ) (1 — a 2 k 2 ,) 
a 
-II(x, 
-fl-. k) - F (., t) + fl fr, -~,i) 
2^1 —a 2 VT— a 2 k 
r-V(T~^~Ì) ’ 0*'==*). 
— a 2 k 2 V.1-*./ 
woraus 
1 ,v a 2 k' 2 ' (1 - a 2 )k 2 ,. a 2 . 
l,h -~ l>’ k) = (i T .a*)(l-alk>) n(x ’ I a-k=' k> " W F(l ’ k) 
v a 
Vl — a 2 k 2 Vl — x 2 + xVl — k 2 x 2 Vl — a 2 
2 V1 — a 2 Vl-a^k*'TVl-a'k 2 Vl- x 2 - x Vl-lTx 2 Vl-a 2 
wo also l>a>x>0. Da zwischen — QC> und — 1, — _ ,, 
a * 1 — a k 
zwischen 0 und —k 2 liegt, so lehrt diese Gleichung das elliptische Integral 
der dritten Art, dessen Parameter zwischen —1 und — GO liegt, auf ein 
anderes zurückführen, dessen Parameter zwischen 0 und — k 2 liegt. 
Will man in (91) von = x bis ^ = 1 integriren, so muss 1 >x>a>0 
und man erhält dann, wenn man die Bezeichnung des §.12 beachtet: 
1 — a 
d. h. 
xVl — k 2 x 2 Vl — a 2 + aVl — a 2 k 2 Vl — X 
2 Vl — a2 Vl — a 2 k 2 VVl-Px 2 Vl- a 2 — aVl— a2 k 2 Vl— x 
< 
n'(x, a 2» k )~ (1 _ a a )(1 _ a a k2 ) 
xVl — k 2 x 2 Vl — a, 2 + a Vl — a, 2 k 2 Vl — x ' 
,(*V 1 ~ 
2 Vl —a 2 Vl —a 2 k 2 v x Vl-k 2 x 2 Vl-a 2 - a Vl- a 2 k 2 Vl~ x 
wo 1 > x > a > 0. 
III. Da die anfängliche Gleichung in I identisch besteht, so gilt sie 
auch noch wenn a > 1. 
Setzen wir also 1 < a< —, so haben wir 
k 
Dienger, elliptische Integrale.