Verwandlung der elliptischen Integrale dritter Art in einander. 
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/ 
■ kV 
dfi 
1 - a 3 k ! +(a 2 -l)k ä ;i s 1 Vl-kV J ^ ~ ^ V fi z -1 )A-kV 
8/a 
■ ü 
(: 
tV^a* — 1 1 — k 2 j« 2 -f- a V^l — k 2 a 2 V^/u s — 1 
=D 
+ c. 
2 Va 2 — 1 Vl— a s k 2 — 1 yi — k 2 ^ 2 — a,yi— k 2 a, 2 Yß 2 
Will man hier zwischen 1 und x integriren, so muss a^>x sein. Führt man dann die 
Umformung §. 4, II ein, so ist 
1 — k 3 /tt 2 1 8 fi 1 — v z 1 
1 — a 2 k 2 -f- (a 2 — 1) k 2 /t 2 y^TZ\ y lüg V 8 v~ 1 - (1- a 2 k 2 )j> 2 yp _ v *yrHkV 
a 2 k 2 
)*’V 
ß 
a 2 k 2 1 — a 2 k 2 1— (1— a s k>7 yi — v 2 yi— k' 2 v 2 ’ 
1 8|u 1 1 
a 2 -^ y^-iyi-kV 8 * a 2 -l-a 2 k' 2 j/ 2 y\ _^yi_ k 'V’ 
und folglich 
1 
..rti rW ’-i=OT n h - 1 + a* t>. « + ¡¿j Bfc - ^. V) 
2 y a 2 - -1 y 1 — a 2 k 2 
< 
xVa 2 — iyi—k 2 x 2 +ayi—a 2 k 2 yx 2 —1 
(94) 
wo aber 
x ya 2 — 1 yi — k 2 x 2 — ayi — a 2 k Z Y X 
1 
ist. Die Parameter sind hier: der eine zwischen 0 und — (1 —k 2 ) = — k' 2 , der andere 
zwischen — 0(0 und — 1. Die Formel fällt also mit (92) zusammen. 
Verallgemeinerung. 
V. Die wichtigen Formeln (92) und (93) sind nur unter der Annahme 
bewiesen, dass x zwischen 0 und 1 liege, die etwas zu enge ist. 
Setzen wir in (92) x = sincp, so heisst die Gleichung 
a 2 
$*(9>> 
1 a 2 k' 2 ffl / (1 — a 2 ) k 2 1N 
—,, k) = — T-T- j-ir f (<p, — jTT- * k) 
a 2 (1 —a 2 ) (1 —a 2 k v ) 1 — a-k 2 
; %■ Ì9>, k) 
H - 
yi — a 2 k 2 cos qp + sin qi y 1— k 2 sin 2 qp yi — a 2 ^ 
(92) 
ya V 1— a 2 
' v a yi- a 2 l 
i 2 qp y 1 — a'A 
ì 2 (d y 1— a 8 -' 
2 yi — a 2 yi — a 2 k 2 ^a yi — a 2 k 2 cos qp — sin qp Y 1 — k 2 sin‘ 
wo der Natur des Integrals der ersten Seite zufolge, qp nicht \n erreichen 
darf, vielmehr nothwendig 1 > a > sin cp > 0 vorauszusetzen ist. Dagegen 
kann cp negativ sein, und natürlich wieder so, dass sin 2 cp <C a 2 . Ist also xp 
zwischen 0 und \ n derart, dass sin 2 ip = a 2 , so läuft qp von — ip bis + ip 
und innerhalb dieser Gränzen gilt die (92). Dass aber für ein negatives qp 
die (92) ebenfalls gilt, folgt einfach daraus, dass für — qp statt qp alle Glieder 
blos das Zeichen wechseln. 
Setzt man in (93) sin cp = x und