Einteilung und Berechnung von {p, a, k). 
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§• 19. 
Eintheilung und Berechnung von {cp, a, k). 
I. Die seitherigen Untersuchungen haben für das elliptische Integral 
der dritten Art, mit Bezug auf dessen Parameter a, vier Klassen ergeben: 
1) da a zwischen — oo und — 1 liegt. Hieher gehören die Formeln'' 
(72'), (74'). (90); 
2) da a zwischen — 1 und — k 2 liegt. Hieher gehört (81"); 
3) da a zwischen — k 2 und 0. Hieher gehören (96), (99); 
4) da a zwischen 0 und ad. Hieher gehört (78). 
Diese vier Klassen lassen sich aber in einander verwandeln, und zwar 
verwandelt man die Integrale der ersten Klasse in die der dritten mittelst 
der Formel (92), und die der vierten Klasse in solche der zweiten mittelst (93). 
Es würden also Formeln zur Berechnung für die zweite und dritte Klasse 
genügen. 
II. Will man 'S* (qp, a, k) seinem Werthe nach berechnen, so genügt es 
(§. 1, III), dass cp zwischen 0 und \ n liege, also wenn sin cp = x, die Grösse x 
zwischen 0 und 1. Dann verwandelt sich das Integral in FI (x, a, k), das 
wir nun berechnen müssen, wenn x zwischen.O und 1. 
Erste Klasse: a zwischen — oc und — 1. Mittelst (92) wird dieser 
Fall auf die dritte Klasse zurückgeführt. Eben so gehört hieher (92'). Wir 
brauchen also für diesen Fall keine besondern Formeln; wollte man solche, 
so würde für k < Yk die (72') oder (74') , für k > Yh (besser k' > Yk) die 
(90) geeignet sein. 
Zweite Klasse: a zwischen —1 und —k 2 . Ist der Modulus klein 
(unter Yi), so wird man (81") anwenden; im andern Falle mittelst (93) 
diesen Fall auf den vierten zurückführen und dann (78) verwenden. 
Dritte Klasse: a zwischen — k 2 und 0. Für einen kleinen Modulus 
empfiehlt sich (96), für einen grossem (99). 
Vierte Klasse. Für grossem Modulus eignet sich (78), bei kleinerm 
reduzirt man zuerst mittelst (93) auf die zweite Klasse und wendet dann 
(81") an. 
Will man die gegenseitige Reduktion der zweiten und vierten Klasse 
vermeiden, so ergäbe sich aus (93) und (78) eine Formel; doch scheint es 
zweckmässiger, unsere Vorschrift bestehen zu lassen. 
Das Integral (| it, a, k). 
III. Dieses Integral lässt sich immer durch elliptische Integrale der bei 
den ersten Arten ausdrücken. Die nöthigen Formeln sind: 
Erste Klasse: a zwischen—oO und — 1. Das Integral ist für 
nicht zulässig.