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Das Additionstheorem für die elliptischen Integrale der dritten Art. 
Zweite Klasse: a zwischen — 1 und — k 2 . Die nöthige Formel 
ist (82'). 
Dritte Klasse: a zwischen —k 2 und 0. Die Formel ist (98). 
Vierte Klasse: a zwischen 0 und oc>. Die Formel ist (85). 
Damit haben wir nun alles Nöthige zur Berechnung des elliptischen 
Integrals der dritten Art aufgestellt. Die Formeln (86'), (97') können in 
vielen Fällen zur Erleichterung der Rechnung beitragen. 
Gränzen der vier Klassen. 
IY. Man wird beachten, dass die Formeln, welche zur Berechnung der Integrale erster 
und dritter Klasse dienen, natürliche Logarithmen; die welche zur Berechnung der Integrale 
zweiter und vierter Klasse geeignet sind, aber goniometrische Funktionen enthalten. Daher 
kömmt eine von Legendre herrührende Benennung derselben, als logarithmische und gonio 
metrische. 
An den Gränzen der.vier Klassen, d. h. für a = — 1, — k 2 , 0 lässt sich das elliptische 
Integral dritter Art auf die der zwei ersten Arten zurückführen, wie für die zwei letzten Fälle 
bereits in §. 1, IV gezeigt ist. Für a = — 1 ist (§. 25, IV) 
f (93, — 1, k) = 
-L 
8 fi 
0 cos 2 /i^ l—k z sin 3 fi 
= (9». k) — (99, k) -i 
Sin (p VI — k "sin 3 cp 
k' 2 cos <p 
Macht man davon Gebrauch, so kann man weitere Formeln für die zwei Integrale 
F (x, k), E(x, k) erhalten, wie bereits in (84) ein Beispiel derart vorkommt. 
Verhalten von (95, a, k). 
V. Aus der Erklärung dieser Grösse folgt, dass bei ungeändertem cp, a, dieselbe wächst 
wenn k wächst; bei ungeändertem a, k, wächst mit cp. Was den Parameter betrifft, so wird 
bei negativem a das Integral der dritten Art wachsen, wenn der absolute Werth von a wächst; 
bei positivem a wird es hingegen abnehmen mit wachsendem a. Dabei sind <p, k positiv 
gedacht. 
also ist 
$ {cp, k) — $* {cp, a, k) =J o 
a sin 2 fi 8 fi 
I H- a sin fi _ k 2 sin 2 fi 
& (9>, k) 
$ {cp, a, k) <( $ {cp, k), wenn a > 0, 
$ (<p, a, k) > $ {cp, k), „ a < 0. 
»<* *. =r 
J 0 (1+ &sm z fjì) y 1—k 2 sm~/ji 
ist jedenfalls positiv, wenn a(l — k 2 )>k 2 , und jedenfalls negativ, wenn a<k 2 . In andern 
Fällen lässt sich darüber nicht entscheiden. (99 >0 gedacht.) 
h 
§. 20. 
Das Additionstheorem für die elliptischen Integrale der dritten Art. 
I. Es ist 
8 fi 
A+ßjtt + C/u 2 
7- 1 l( 
2 — 4 A C V: 
V4AC — B 2 
2A+B/ t +MVB 2 -4AC 
2 A+B fi-fi VI" 2 —4AC 
,^V*A9-gP). 
2 A + B/u J' 
) 
, wenn B 2 — 4 AC>0, 
wenn B 2 — 4 A C <^0.