Das Additionstheorem für die elliptischen Integrale der dritten Art. 
Setzt man hier 
A = 1 + a sin 7, tp, B = 2 a cosili Vi — k 2 sm 2 ip, C = a (a + k 2 sin 2 tp), 
B ! -4AC = -4a(l + a) (a + k 2 )sm 2 ip, 
so ist 
so dass wenn 
a (1 + a) (a -f- k 2 ) = D, 
die erste Form gilt, wenn D<C0, die zweite wenn D > 0. Die Grösse 
Vß 3 — 4 A C ist = + 2 sin tp V~ D, 
je ob simp positiv oder negativ. Im erstem Falle heisst das Integral 
1 , /T+2 n sin tp V— D' 
=iC 
D V 
im zweiten 
2 sin ip V ~ D NP — 2/usmip V 
—)• 
— D' 
1 
C~P — 2 fi sin tp V — D> 
| 1 
2 sin tp V — D 
^P+2 fi sin tp V — D'' 1 
^ 2 sin tp V — D ^ 
T + 2 /i sin ipV — D 
2 n sin ipV 
=)■ 
- I)S 
Demnach ist allgemein 
A 
s in tp 8 / ( 
2 V 
- D V 
1+ a sin 2 ip -+- 2 afi cos ip Vl — k 2 sin 2 ip -+- a (a -f- k 2 sm 2 ip) 
1 + a sin 2 tp + a ft cos ip V i — k 2 sin 2 tp + fisintp V— D 
=S).J> 
1 + a sin 2 ip ri- a fi cos tp V* ~ k 3 '1' ~ ^ sin ^ ^ ' 
)» D>0. 
<0, 
1 fl sin ,p Vd 
= —are (¿¿r = —, :—-—, 
V D 1+ a sin 2 ip -+- a ß cos ip y 1 — k 2 sin" ip 
Hängt jtt von qp ah, ist z. B, ¿u = sin ca sin cp, wo oo von qp äbhängt mit 
telst (39), natürlich aber ip als konstant behandelt wird, so folgt aus dieser 
Gleichung, wenn man nach cp differenzirt: 
1 d 
(sin ip sin <p sin ö>) 
d f 1+a sin 2 ip+a sin cp sin co cos ip Vi —k 2 sin 2 »p + sm ip sin ip st« <a V-D 
1+ asm 2 ip + 2 a ft cos ip Vl — k 2 sin 2 ip -f- a (a + k 2 sm 2 tp) /i 2 d( P 
=_L = AA 
2V— V 
=5) 
- D' 
2 V — D ^ ^ M+a sin 2 ip+a sm <f> sm co costpY 1 — k 2 sin 2 tp — sin cp sin ip sin co V - 
Hier ist nun 
si« 2 ip+2 ficostp V l— k 2 sm 2 ip+k 2 ft 2 sm 2 ip=l — (costp — fiYl—k 2 sin 2 tp) 2 +fi 2 , [wegen (45')] 
= 1 — cos 2 cp cos 2 co + fi 2 = sin 2 cp + sin 2 co — sin 2 cp sin 2 ca (i 2 — sin 2 cp + sin 2 co, 
1+ a sin 2 ip -f-.,. = 1+ a (sin 2 cp -f- sin 2 co) + a 2 /1 2 = (1+ a sin 2 1» ) (1 + asm 2 ip) ; 
sin 2 ip+sm <p cos cp sin w V1 — k 2 sin 2 tp=sin 2 ip+sm 2 <a — sin 2 tp — sin cp sin tp cos coV1 —k 2 sin 2 co 
Daraus folgt 
=sin 2 co —sincpsintpcosa>Y 1— k 2 sin 2 a>, [wegen (45)]. 
1 d .... . 
—— —-—- —— (sin cp Sin tp Sin CO) 
(1-I-asm“ 0) (I-f-asm <p) dep 
2 V—D d< P 
d /1+PV-D 
P V 
D i 
D ) 
oder —— — are (tg — P Y D), 
V D d( P 
wenn