Periodisches Verhalten gewisser Grössen. 
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Der Fall D = 0 ist hier nicht inbegriffen. Aber D ist Null, wenn 
a = 0, oder a = — 1, oder a = —k 2 . Dies sind die drei in §. 19, IV be 
trachteten Gränzen, bei denen die Integrale dritter Art sich in solche der 
beiden ersten Arten verwandeln. 
Da für negative Amplituden die elliptischen Integrale das negative 
Vorzeichen haben, so sind die (allgemein erwiesenen) Additionstheoreme 
auch zugleich die für Subtraktion. 
Haben cp, tp die Werthe (41), so folgt aus 
$ (<P, a, k) 4- $ (ip, a, k) = 2 (n + m) ^ (¡7t, a, k) + f (<p\ a, k) + $ (tp‘, a, k) 
leicht die allgemeine Formel. 
§. 21, 
Periodisches Verhalten gewisser Grössen. 
I, Die Grösse 
cotg ct Yl — k 2 sin 2 « [§> O, — e 2 sin 1 a, k) — %' (q>, k)], 
die von cp und a abhängt, wird wenn cp = n n + cp' zu 
2 n cotgaY 1 — k 2 sin 2 a — e 2 sin 2 a, k) — k) — K] 
+ cotg «Yl - k J sin 2 a (<p‘, — e 2 sin 2 a, k) — $ (q>‘, k)] = 2 n [K % (a, k) — L (a, k)] 
+ cotg a Y1— k 2 sin 2 a [$> (g>‘, — e 2 sin 2 a, k) — $ (cp\ k)] 
wegen (98), wo wir uns zunächst a zwischen 0 und ¡n denken. Die Grösse 
(<f>, k) 
K 
[Kg(a,k)-L§(«,k)] 
wird in demselben Falle zu 
2 n [K & (cc, k) - L f («, k)] + ^ -[K % («, k) — L $ («, k)]. 
Hieraus folgt dass 
cotg aY^— k 2 sin 2 a [$ (q>, — q 2 sin 2 a, k) — $ (go, k)] — $(<p, k) —— ^ ~~ (101) 
periodisch ist nach cp, d. h. den Werth nicht ändert, wenn cp um nn wächst oder 
abnimmt. Dabei ist jedoch cc wesentlich zwischen —¡ n und -f- \ n enthalten. 
II. Die Grösse 
k ‘ 2 sina cos a ^ _ j + k „ sin z ^ k) _ $ k) ] _ fi ff + $ («. k') (K - L) 
-K|(«,k')] 
(102) 
hat dieselben Eigenschaften. Denn wenn sich cp um n n ändert, ändert sie selbst 
sich um 
2n ($ (i Äf _ i +k ‘ 2 sin 2 a, k).-K] -2 n ß* + §f («. 10 (K-L) -K % («. k')h 
y 1 — k' 3 si« 3 « 
Aber wenn man in (82') b = sin cc setzt, so ist