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Aufgabe zu einer andern Abtheilung der Integralrechnung (§.32 der Diff.— 
u. Intglrchg). In Bezug auf die Gränzeu müssen wir nun aber vier einzelne 
Fälle unterscheiden. 
1) Die Gränzen des Integrals liegen unter a oder über d. 
Jetzt ist 
(x — a) (x — b) (x — c) (x — d) 
positiv, also wird E ebenfalls positiv sein, da wir es nur mit reellen Grössen 
zu thun haben, und bei negativem E die Y*A 4- ... Ex 4 imaginär wäre. Man 
setze nun 
\ 
worin a eine noch unbestimmte, positive Konstante sei. Da x von — oo 
bis a, oder von d bis 4- oc läuft, so geht der erste Bruch von 1 bis 0, oder 
von qo bis 1, ist also immer positiv and verläuft vollkommen stetig, ohne 
weitere Maxima oder Minima zuzulassen. Eben so muss natürlich auch der 
ihm gleiche zweite verlaufen. Derselbe ist 0 für sin n = 1, fi = \ir, oo für 
(X — 1 
sinu.= — 1, u — —\n\ soll er = 1 werden, so muss sinn = -sein, 
« + i 
ein Werth, der zwischen — 1 und 4- 1 liegt. Demnach liegen die 
Gränzen von n zwischen — und + irc, innerhalb welcher cosfi> 0, 
also Y 1—sin 2 fi =■ cos fi ist. 
Man hat nun 
8 x* 2 a (d — a) cos fi _ ct (d — a) (1— sin fi) 
8 fi [I-t-sm/i — a(l—sin fi)] 3 ’ 
(d — a) (1 4- i 
1 4~ sin fi — a (I — sin fi) ’ 
1 + sin fi — a (I — sin fi) 
X — c 
1 + sin fi — a (1 — sin fi) 
Die noch unbestimmte Grösse a wollen wir nun so bestimmen, dass in dem 
Produkte (x — b) (x — c) die erste Potenz von sin n (im Zähler) wegfällt. 
Dieses Produkt hat aber zum Zähler 
(b — a) (c — a) 4- « 3 (d — c) (d — b) + a (d — b) (c — a) 4- « (b — a) (d — c) 
4- 2 [(b — a) (c — a) — a°- (d — c) (d — b)] sin fi 
4- [(b — a) (c — a) 4- (d — c) (d — b) — a (d - b) (c — a) — a (b — a) (d — c)] sin 2 fi, 
so dass also 
2 (b — a) (c — a) _ (b - a) (c — a) 
(d-c) (d-b)’ ““ V (d-c) (d- b) 
sein soll. Dann ist 
* Aus diesem Werthe, der positiv ist, folgt dass x und fi zu gleicher Zeit wachsen, wie 
wir bereits schon bemerkt. 
D i e n g c r, elliptische Integrale. S