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Das IntegralJ{K-\- Bx4- Cx 2 4- D x 3 4- Ex 4 ) *8; 
a 2 (d — c) (d — b) = (b — a) (c - 
2 (b — a) (c —a)+a (d—b) (c —a) 
2 (b—a) (c—a)—a(d 
so dass wenn 
a), a 2 (d — c) (d — b) 4- (b —a) (c —a) = 2(b —a) (c—a), 
f- a (d—c) (b —a) =a [V (d—b) (c —a) 4- Y(d — c) (b—a)] 2 , 
b) (c — a) — a (d—c) b — a) = — a [Y(d —b) {c- a) — V(d— c ) (b—a)] 2 , 
V(d — b) (c — a) — V(d — c) (b — a) 
k, 
VG — b) (c — a) + Y(ü — c ) (b — a) 
wo k positiv und kleiner als 1, mau also als Zähler von (x— b) (x 
a [Y(d — b) (c — a) 4- — c) (b — a)] 2 [1 — k 2 sin 2 ft]; 
(x — a) (x — b) (x — c) (x — d) 
a 2 (d — a) 2 [V^d — b) (c — a) 4- V(d — c) (b — a)] 2 cos 2 ft ( 1 — k 2 sin* ß) 
c) hat: 
[1 
sin ß — «(1 — sin ft) | ’ 
1 
Yi* 
a) (x — b) (x — c) (x - d) d ß 
2 a (d — a) cos ß 
« (d - a) [Yid - c) (b - a) 4- V(d — b) (c — a)] cos ß Vi- 
Hieraus ergiebt sich offenbar folgende Vorschrift: 
k 2 sin' n 
sin ß 
k = 
a (1+ sin ft) — a d (1 — sin ft) 
1 4- sin ft — a (1 — sin ft) : 
V(d — b) (c — a) — Y(d — c ) (b - a) 
Yid - b) (c 
a (x — d) 
a (x—d) 4- (x — a) 
(x-a) (b-a)(c 
. « = Y ■ 
a) 
(d-c) (d-b)’ 
(d — a) (c - b) 
A 
a) 4- V(d — c) (b — a) [V(d — b) (c — a) 4- V( d — c) (b — a) 1 2 ’ 
8 x 2 Y k 
ß 
Y (A 4- B x 4- C x 2 4- D x 3 4- E x 4 
2 V k r 8^ 
) V'E (d — a) (c — b) J Yl — k 2 sin 2 f 
Nachdem der eine Fall vollständig erledigt ist, wird es genügen, für die andern blos die 
Resultate anzugeben, da die Ableitung durchaus nach denselben Grundsätzen geschieht, 
übrigens auch Alles durch einfache Buchstabenvertauschung erhalten werden kann. Dass 
immer ft zwischen — | it, 4- liege, auch x und ft zugleich wachsen, wird man sich leicht 
überzeugen. 
2) Die Gränzen von x seien zwischen a und b; E<0. 
b — x 1 — sin ft b (1 4- sin ft) 4- « a (1 — sin ft) 
— ct ; , X = ; r —— 
x — a 14- sin ft 14- sin ft 4- «(1 — sin ft) 
sm ß — 
k = 
«(x — a) — (b — x 
a (x — a) 4- b — x 
V(c — a) (d — b) — V(c — b) (d — a) 
V(c — a) (d — b) -{- Yi c 
8 x 
V 
(C - b) fd - b) 
(c 
a) (d — a) 5 
(d — c) (b - 
a) 
b) (d — a) [Y(c 
a) (d-b) + V(c-b) (d 
2 yk 
a)l 2 
P_ 8 x • 2yk p 
J Y A4-Bx 4- C x 2 4- Dx 3 4- Ex 4 Y—E (d — c) (b-a)/]/"!- k 2 sin 2 ft 
3) Die Gränzen von x seien zwischen b und c; E > 0. 
Sin ft 
1 - 
«T-- . , 
1 4- sm ß 
c (1 4- sin ft) 4- b « (1 — sin ft) 
sin ft : 
a (x - 
a (x 
b) 
1 4- sin ß 4 
(c —x) (d 
, a = y 
b) 4- c — x 
et (1 — sin ft) 
— c) (c — a) 
(d — b) (b — a) *