s* 
Das Integral^(A + Bx + Cx 8 -f-Dx 3 + Ex 4 ) ? 8 x. 
(d — a) (c — b) 
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V^d ~ 8) (c — a) — — c) (b — a) 
y^d — b) (c — a) 4- VÖi — c) (b — a) [Y(d — b) (c — a) + y(d — c) (b — a)] 2 
8x_ 2 Yk p Qu 
\/A-|-Bx + Cx ! + d7 3 + Ex 1 _ yE (d-a) (c-"bj J YT — k 2 sin 1 (x 
4) Die Gränzen von x liegen zwischen c und d; E < 0. 
d — x 1 — sin fi d (1 H- sin fi) 4- a c (1 — sin fi) 
— a —, x =3 
A 
1 + sin ß ' 
1 + sin ß + a (1 — sin ß) 
a (x — c) — (d — x) (d — a) (d — b) 
sinn*— — ■ ■ —- , « = y 
a (x — c) + d — x 
k = 
(c — a) (c — b) 
(b — a) (d — c) 
y (c — a) (d — b) — y (d — a) (c — b) _ 
y(c — a) (d — b) + y(d — a) (c — b) \Y( c — a) (d — b) + V(d — a) (c — b)] 2 
8x 2pk /* 8 n 
A 
yA+Bx + C x 2 + D x 3 -f- E x 4 y—E (b — a) (d — c) f-V r — k 2 sin t n 
II. Wir haben nun als zweiten Hauptfall den, da 
Ä + Bx + Cx 3 + Dx 3 + Ex 4 = E(x-a) (x-b) [(x-m) s + n*]. 
Hier sei a <C b, und natürlich nicht n = 0. 
1) Die Gränzen von x seien unter a, oder überb, wo E > 0. Wir 
setzen 
x — a 1 — cos ß a (1+ cos ß) — a b (1 — cos ß) «(x — b) — (x — a) 
rr = « - , x = -th-r. 77 v— , cos fi — 
x — b 1 + cos /x 1 -f- cos ß — «(1 — cos ß) 
a (x — b) -)- x — a ’ 
wo nun (wie in I, 1) ix zwischen 0 und n liegt. Zugleich ist 
8 x 2 a (b — a) sin ß 
8 ß 
ß Z + y 2 COS 2 ß 
(x - a) (x — b): 
[1 -f- cos ß — a (1 — cos /«)] 2 ’ 
a (b — aY sin 2 ß 
, (x — m) 2 -+- n 2 
[1 + cos ß — « (1 : — cosß)]* ’ ' “ [1+cosm— «(1— CfSju)] 2 ’ 
vorausgesetzt man bestimme a so, dass in dem letzten Ausdrucke die erste 
Potenz von cosn wegfalle, jvozu gehört dass 
(a-ab-m + am) (a + ab-m-«ni) + n ! (l-ß ä ) = 0, 
(a — in) 2 + n 2 
(a — m) 2 — « 2 (b — m) 2 + n 2 (l — a 2 ) — 0, « 2 — 
(b — m) 2 -f-n 2 ’ 
und 
ß 2 = [a — m — «(b — m)] 2 + u 2 (1 - «) 2 , y 2 = [a — m + « (b — m)] 2 -+- n 2 (l -+- «) 3 
Demnach ist 
8 ß 2y« C 
p 8 x _ _ 2 Va p 
JyÄ4-.. + Ex* “ v E J Y¥ 
-\-y 2 cos 2 ß yE(^ 2 -l-y 
- f 5 
Y )JVt= 
k 2 sin 2 ß 
k 2 i= 
r + 7* 
Man hat also jetzt die Vorschrift: