Reduktion des allgemeinen irrationalen Integrals. 
Setzt man Y( 1 + x 2 ) = z, so ergiebt sich für diese Grösse 
| r^L=-; x 3 - 1 = (x - 1) [(x +1) 2 +1], 
J i V x — 1 
In §.23, II, 1: # 
für x = 1: 
für x — cc : 
also 
b = 1, m =* - |, n = | Y3, D = 1; « = -—, k =| V2 - ys ; 
V ° 
fi = Ti; 
fi — 0, 
f' ,n ; 8,1 . -4*- k-jyrirys; 
•/o ^( x 3 +1 )2 y%J o yl-k-sm-fi y S 
Reduktion des Integrals / 
./ V A- 
f (x) 8 x 
■Bx + Cx 3 + Dx 3 + Ex 4 
I. Liegt ein irrationales Integral vor, in dem die Quadratwurzel aus 
einem Polynom des dritten oder vierten Grades vorkommt, sonst aber nur 
Potenzen der unabhängig Veränderlichen mit positivem ganzem Exponenten, 
so lässt sich ein solches immer auf elliptische Integrale reduziren. 
Ist P das Polynom des dritten oder vierten Grades, so ist die allge 
meinste Form des fraglichen Integrals 
(' M + NVP 
,, _ T , Jx, (104) 
M' + NfP 
wo M, N, M', N' ganze Funktionen von x sind. Durch Multiplikation mit 
M' — JN T/ y P kann man dasselbe auf die Form 
/< 
(R + SyP)8x 
=/ B8i+ / e 
Sy P 8 x 
bringen, wo R und S rationale Funktionen sind, von denen die erste nach 
bekannter Weise integrirt wird. Wenn man will kann endlich das letzte 
Integral gleich 
’PS. 
r ps 
Jy P 
8x 
geschrieben werden. Daraus folgt, dass man immer die in der üeberschrift 
angegebene Form, inderf(x) ein rationaler Bruch ist, herrorrufen kann. 
Doch ist dies für den thatsächlichen Erfolg nicht nothwendig, da es voll 
kommen hinreicht, mit der allgemeinen Form (104) zu verfahren, wie wir 
es für 
R „ 
(104') 
/i 
syp 
vorschreiben werden, wo R, S ganze Funktionen von x sind.