Reduktion des allgemeinen irrationalen Integrals. 
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Dabei ist zu beachten, dass die Gränzen des Integrals (104) genau in 
derselben Ausdehnung sein müssen, wie in §§. 22, 23 angenommen worden. 
Denn wenn auch Y P gar nicht im Nenner verkommt, also das Integral nicht 
unzulässig wird, weil der Nenner Null ist, so ändert P doch immer sein 
Zeichen, wenn es durch Null geht, und ist also YP diesseits oder jenseits 
jenes Werthes von x imaginär, was aber hier nie angenommen werden darf. 
II. Um nun (104') zu reduziren, geben wir die Vorschrift, es sei x 
durch ju zu ersetzen, ganz in derselben Weise, als wenn R und S gleich 1 
wären, man sich also im Falle der beiden vorhergehenden §§. befände. 
Dann verwandelt sich (104') in 
a/tW -=J4==-, 
J V^l— k 2 sin 2 ß 
R 
wo A eine Konstante, F (/x) die aus — folgende Form, und k 2 < 1 ist. 
¡b 
Was F (/.i) betrifft, so folgt aus unserer Vorschrift, dass diese Grösse 
unter den Gestalten 
f{sinn), f (cosß), f{tgß) 
auftreten kann, wenn f (s) eine rationale (gebrochene) Funktion von s ist. 
Nun kann man jede solche Funktion in eine Summe auflösen, indem man 
zuerst, wenn der Zähler von höherem Grade ist als der Nenner, mit diesem 
in erstem dividirt, bis ein Rest von niedererem Grade als der Nenner bleibt, 
so dass f (s) als eine ganze Funktion mit einem rationalen Bruch erscheint. 
Den letztem zerfällt man in Einzelbrüche und erhält so 
f(s) _ - - A' • B' 
A s n + B s n -> -f- .. H- L • 
+ ; 
(s+a) m (s + b) r 
wo a, b,... reell oder imaginär sein können (Differential- u. Integralrechnung 
S. 30). Doch wenn ein Einzelbruch der Form f vorkommt, so 
a ' (s + a+pi) 
A-Bi . 
erscheint nothwendig auch einer der Form ß-^m' 
Hieraus ergiebt sich nun, dass die Integration von (104) als durchführ 
bar angesehen werden muss, wenn mau (s = sin/x, cos/x, tg g gesetzt) die 
Formen 
/ “ sint fidu r Cos" fj. 8 ft r tff n fl du 
Yl—k* sin' 1 ix J Vl— JYl-V* 
A 
(a + b sin /t) n 
- sin 2 o’ f( 
fl 
sm~ ß 
8 ß 
(a + b cos ß) n — k ä sin 2 ß 
8 ß 
(105) 
(a + b tg ß) n Y 1 — k 2 sin 2 ß ] 
zu integriren weiss, wo n eine positive ganze Zahl ist, a und b aber reell