Reduktionsformeln für die drei ersten Integrale (105). 
oder imaginär sein können. Dabei liegt endgiltig fi zwischen — in und + {n, 
oder, was genügt, zwischen 0 und i n. 
Mit der Aufstellung von Reduktionsformeln für diese sechs Integrale 
wollen wir uns nun beschäftigen. 
§. 25. 
Reduktionsformeln für die drei ersten Integrale (105). 
I. Gesetzt es sei £ eine der vier Grössen 
sin fi, cos n, tg fi, 1 — k 2 sin 2 g, 
so ist immer 
V^l — k ä sin 2 g ~ = + V a 4- 1» £ 3 4- c £ 4 . 
dg 
Diese Behauptung wird thatsächlich zu erweisen sein. 
1) £ = sin fi; V1 — k 2 sin 2 fi — = cos fi y 1— k 2 sin 2 g = V 1 — sin 2 fi V" 1 — k 2 sin 2 g 
= Vl— (1 4- k 2 ) sin 2 fi + k 2 sin* fi, also a = 1, b = — (1 4- k 2 ), c = k 2 . 
2) £ — cos fi j 1 — k 2 sin 2 fi H— = — Vl — cos 2 fi V 1 — k 2 4- k 2 cos 2 fi 
= — Vl — k 2 — (1—2k 2 ) cos 2 fi — k 2 cos 4 g, a=l—k 2 , b = — (1—2k 2 ), C— —k 2 . 
8£ 
3) è=tgfi-, k 2 sin 2 fi ^ = (1 4- tg 2 fi) 
o fl 
V>-£ 
%rj*_ 
-tg 2 fi 
— ^{X-\-tg 2 fi) 2 —k 2 tg 2 fi(^.-\-tg 2 f\), a=l, b = 2 — k 2 , c = 1 — k 2 , 
d) £=V^1—k 2 sin 2 fi ; V 1 — k 2 sin 2 fi~- = — k 2 sin g cos fi 
0 f.1 
V' 
(1 —ik 2 sin 2 fi) -| / k 2 —14- (1 —k 2 sin 2 fi) 
, a = k 2 — 1, 
Dabei ist allerdings fi zwischen 0 und \n vorausgesetzt, wie dies für 
(105) genügt. Dann gilt in der erst aufgestellten Formel das obere Zeichen 
für die Fälle 1 und 3, das untere für 2 und 4, 
II. Es ist aber 
d(£"~ 3 V r ^^+b£ 2 4-cl r ) 8 (£ n ~ s Va4-b£ 2 4-c£ 4 ) 8£ 
dfi 8 £ 8 fi 
, (n - 3) a £ n —* 4- (n - 2) b £"~ 2 4- (n -1) c £ n 
Vl- k 2 sin*n 
wenn man die Formel in I beachtet. Hieraus 
£ n-2 8 g 
£ n - 4 8 fi 
(n ~ 1)c fvT^^ +{n - 2}h Ìv^^ +(n - S)& iv^= 
J y 1— k 2 sin“fi jy\~k 2 sm 2 fi 1 — 
k 2 sin 2 fi