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Eeduktionsformeln für die drei ersten Integrale (105). 
Setzt man hier nach einander 
£ = sing, cos fi, tg fi, V"!—k 2 sm 2 fi 
und beachtet die Werthe von a, b, c, so erhält man: 
sin" gd fi n — 2 I+k ! 
V^l — k 2 sm 2 ,a n —1 k' 
77 
A 
g 
/ ' cos" g 8 fi 
Vi — k 2 sin 2 g 
/ ' sin"~ 2 g8g n —3 1 P sin"~'* fi 8 fi 
k 2 sin 2 g u —1 k~ J ^i—k 2 sin* 
2 P cos"~ 
n —1 ^ J 1^1 — k 2 sin 2 g 
Tn-I 
n —2 2k 2 —1 /* cos"~ 2 fi 0 fi n — 3 1 — k 2 /* cos"~~ l g 8 fi 
L P cos"~ 
Jvi= 
k 2 sin 2 g 
C0S"~ J fl sin fl ■. r- —; . V'~ 
+ -(i~ 
p tg" fi d fi _ n-2 2-k 2 f tg"~ 2 g8g n —3 1 p tg" 
J Yl-k 2 sin 2 fi ~~ n-1 1 - kJ Yl-^sin-fi n -1 l-ky yi~ 
y 1-k 2 sin 2 fl. 
tg"~ 4 fi 8 /i / (t^) 
k 2 sin 2 fi 
tg"~ J (i 
(n-1) (1-k 2 ) COS 2 (l 
/*(V 1 — k 2 sin 2 fi)" 8 g n — 2 (r> ^ ^ P(Y 1 — k 2 sin 2 fi)" 2 8g n - 3 ^ ^z-^ 
J y^ — k 2 sin 2 g U “1 J y\—k 2 sin 2 fi n — 1 
— k 2 sin 2 g)"~ 4 8 g , k 2 (Vl — e 2 sin 2 g)"~ 3 sin g cos g 
+■ 
Vl- k 2 
Sin* fl 
n — 1 
Diese Formeln, in denen die Beschränkung auf g zwischen 0 und | n 
dadurch aufgehoben ist,* dass wir die ursprüngliche Form von 
8 g 
y 1— k 2 sin 2 g 
wieder einführten, gelten übrigens auch für negative n, in welchem Falle sie 
allerdings umzukehren wären. 
Bei fortgesetzter Anwendung, die bis zu n = 3 gehen kann, führen sie 
1) für ein gerades n auf 
P 8 g P i 2 8g _ 
J y1—k 2 sin 2 g Jy\—k 2 sin 2 g 
2) für ein ungerades n auf 
¿8#* 
h 
y i — k 2 sin 2 g 
Das letzte Integral kann unmittelbar bestimmt werden, so dass für ein 
ungerades n keine elliptischen Integrale erhalten werden. Setzt man 
nämlich 
bei £ = sing: cos g = z; bei £ = cosg: sin g — z ; bei £ = tg g: cos g — z, 
so kommt man auf die Form 
* Durch unmittelbares Differenziren wird man sich leicht überzeugen, dass die (106) 
ganz allgemein gelten.