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Reduktionsformeln für die drei letzten Integrale (105). 
J \ a + b z + o z' 
die sich ohne elliptische Integrale erledigen lässt. 
Es bleiben folglich nur die beiden ersten, von denen das eine ohnehin 
die Form des elliptischen Integrals der ersten Art hat. Für das zweite ist 
r o i r 1 C\n ■> -"v q 
/ r=r8,u=r— / - / V 1— k-sm z n dß, 
J yl — k.*sin“fi k y y x_ k-sin*fi k J 
r cos-'/.i n _ r 1 — sin* (i ^ 1— k 2 ^ 
J — k* sin z ß ‘ J Y1 — k 2 sin 2 ß k' J 1 
0 ß 
V^l —k 2 sin 2 ß J V1 k 2 sin* ß 
+ -^2 JV1 — k 2 «m 2 ß 8 n, 
f T— 8 ß — — - —; fV 1 “ k 2 sin 2 ß 8 ß 
■J y l — k 2 sin 2 ß 1 -kV 
yi- k 3 sm 3 / 
(106') 
1 — k : 
jti y 1 — k 2 sin 2 /t, 
Es erscheinen hier also blos elliptische Integrale der beiden ersten Arten. 
Reduktionsformeln für die drei letzten Integrale (105). 
III. Es ist 
8 cos/i VTr k 3 sin 2 ii 
8 /t (a + b sin ,u)” _l 
= —[(n — l)b + a(l+k 2 ) Si«ft — (n — 2) (1+ k 2 ) bUn 2 ß 
(a + b sin n)" Y 1 — k 2 sin' 1 ß 
— 2 a k 2 sfn 3 ft + (n — 3) b k 2 sin 1 n]. 
Man setze die eingeklammerte Grosse 
= Ä + B(a + b sin ß) C (a + b sin,«) 2 + D (a + b sin ß) 3 + E (a + b sin /t) 4 , 
so erhält man zur Bestimmung von A, . . . , E: 
A + Ba + Ca 2 + Da 3 + Ea 4 = (n-l)b, B b + 2 C ab + 3 D a 2 b + 4E a 3 b = a (1+k 2 ), 
Cb 2 + 3Dab 3 + 6Ea 3 b 2 = — (u — 2) b (1 + k 2 ), D b 3 + 4 Eab 3 = — 2ak 2 , 
E b 4 = (u — 3) b k 2 , 
so dass 
E =k++ D 
^°r. 5)atÌ . C = +? [6 a‘k’-(l + kW], 
B = i—-pf~b1(l + k')b‘ _ 2k‘a‘] a, A = .-llfl,» _ a=) (b s - a ! k ! ). 
Integrirt man die erste Gleichung und setzt die erhaltenen Werthe ein, 
so ergiebt sich: 
B/t 2n — 3 (1+k 2 ) b 2 -2a 2 k 2 
/< 
h 
(a + b sinß) n Yl—k 3 sin 2 ß n — 1 (h“ — a~) (b“ -r- a 2 k 2 ) 
8/t n-2 6a 2 k 2 -(l+k 2 )b 2 r dß 
X 
(a+bsf«^) 11 1 y~l — k 2 sin 2 ß n —1 (b v —a 2 )(b 
1+kQ b /' 
2 - a 2 kOy (, 
(a + bsf«ju) u ~ 2 y 1 — k 2 sin 2 ß