Das elliptische Integral der dritten Art mit imaginärem Parameter. 
einschlie^sen können, indem die Formeln (5) des §. 1 für jeden Parameter a 
gelten, und wenn qp zwischen \ n und n\ 
, a,k) = $ (\n, a, k) + f' —. - - 
J Tt-(p * ^ asm /' —k 2 sin 2 /i 
= 2 $ (£it, a, k) — (tt — ip, a, k), 
so können wir oben \ n überhaupt als höchsten Werth von /x ansehen. 
Integrirt man die vorhin erhaltene Gleichung nach fi zwischen 0 und qp, 
so ist 
f 
“P1 — (2 + a) sin 2 /i (1 + 2 «) k 2 sin 4 fx — a k 2 siw 6 fi 
(1 -\-asin 2 (i) 2 (1 — k 2 sin 2 n) 
- p sin 2 fi (I — sin 2 fi) 1. 
8 z 
k 2 sin 2 /i 
WO 
Sin q> COS 9o 
(HD 
(1 -+- « sin 2 q>) 1 — k 2 si« 2 
Ehe wir nun aber weiter gehen, wollen wir die Gleichung (111) näher 
untersuchen. 
II. Sollen die Integrale in (111) zulässig sein, so darf keine der Grössen in den 
Nennern Null werden innerhalb der Integrationsgränzen. Ist ß ]> 0, so ist diess 
offenbar unmöglich; ist aber/3<C0, so muss x so sein, dass 1 -\~ßz 2 nicht Null 
wird (also positiv bleibt), wenn z von 0 bis x läuft. 
Das Integral zweiter Seite in (111) liefert für ß^> 0 : 
8 z 1 
l+fT> = yjarc(v = ,yfi). 
Für z = 0 ist diess Null; wächst nun aber qp von 0 an, so werden die Werthe 
von x immer andere, und für qp = | jr, wäre x — 0 wie für qp = 0. Es erreicht 
somit x, wenn qp von 0 bis geht, ein Maximum oder Minimum. Wir müssen nun 
hier zwei Fälle unterscheiden, 
1) Es kann 1 + asin 2 fi nicht Null werden, wenn /x von 0 bis \it läuft. Als 
dann ist für jeden Werth von qp, der zwischen 0 und \ n liegt, x positiv, und z ver 
läuft stetig mit fi. Dabei kann es sich ereignen, dass wenn fi von 0 bis qp geht, 
z zuerst gewachsen ist, dann abgenommen hat, u. s. w., bis es endlich x geworden 
ist. Da bei jeder Abnahme von z die Integralelemente neg-ativ werden , so ist un 
mittelbar klar, dass das Integral der zweiten Seite in (111) jetzt einfach dasselbe 
ist, als wenn z kurzweg von 0 bis x gegangen wäre, so dass 
J 
8 z 1 , 
j = —- are (tq 
ol + pz. 2 yp 
xY p). 
2) Es kann 1 + asin 2 fi Null werden, wenn fx voft 0 bis läuft, und zwar ge 
schieht diess für fi = ty, so dass 1 -1- asin 2 xp = 0. Jetzt verhält sich die Sache 
allerdings anders. 
Ist qp <C*p, so ist innerhalb dieser Gränzen (¡x von 0 bis qp) das Verhalten ganz 
offenbar wie im Falle 1, d. h. es gilt wieder die vorige Gleichung. 
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