3l XLI.
Leonardo von Fisa und sein Liber Abaci.
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i (wie aus der angeführten Stelle
•den mag) x — e -^—• In der
'2> gz = e { , iz — e 2 , ei — e x e.,,
ie obige Proportion geht also über
-n 2 ), und daraus folgt
W,) 6^2 ß 2 n l
'2 e l ß 2
•er Gleichung sich darstellende Vor
solle den ersten Fehler mit dem
hier mit dem ersten Ansätze mul-
3rsteren abziehen und die Differenz
lividiren. Wieder an einer Figur
dien Ansatzes erörtert, in welchem
dt wurden, mithin an l — h-\-e l ,
isfielen. Es sei (Figur 4) ah die
richtige Länge der Unbekannten,
af und ac die erste beziehungs
weise zweite Annahme, denen gi
und glc als erster und zweiter Fehler
gegenübersteht, oder es sei af—n l ,
ac — == 24 2 , gt—g x , glc z=== c2, hi—C| c 2 ,
nn soll die Proportion stattfinden 2 )
lisst sie (e,—e 2 ): e 2 —{n x —%) : i n 2— x )
n .ii s= e> ? welches wie-
— (?2 ^2
d durch die Vorschrift 3 ) bestätigt
3 des ersten Fehlers in dem zweiten
Fehlers iu dem ersten Ansatz ab-
leu Unterschied der Fehler theileu.
Endlich versinnlicht ein drittes
t l Linienpaar den noch allein übri
gen Fall, dass (Figur 5) eine
Annahme ag zu klein, die an
dere ad zu gross war, und dass
dem entsprechend zuerst ein
zi auftrat. Hier ist die Proportion
3r in den anderen wiederholt von
»1) : 0» — «j) = (G\ + e-i) : e,, wo-
irriger Weise mit ab statt mit dh, doch
jchreibers und nicht Leonardo’s vorliegen.
-29. *) Ebenda pag. 321 Z. 3. 3 ) Ebenda
Z. 16 v. u.
raus die richtige Folgerung zu ziehen ista? = Wj -J- — ~~‘
So hat Leonardo die Regel des doppelten falschen Ansatzes genau
erörtert und sämmtliche Möglichkeiten derselben erschöpft. Darauf
werden mannigfache Aufgaben behandelt, welche bereits im vorher
gehenden Abschnitte zur Uebung der dortigen Regeln dienten; 1 )
nächst diesen aber auch andere neue Aufgaben. 2 ) Wir wollen nur
des ersten Beispieles der letzteren Art gedenken. A und B bezeichnen
uns, wie schon öfter, zwei Personen und zugleich deren Vermögen.
Man besitze darüber die beiden Angaben A -f- ^ 17 = 14, B A—Vl.
Eine erste Annahme A = n { = 4 giebt 4 —{— = 14, JB = 30,
B -J— i A = 30 -j— 1 =31, während 17 kommen sollten, das ist ein
Ueberschnss e, = 31 — 17 = 14. Die zweite Annahme A = n 2 = 8
giebt 8 -f- j B = 14, B — 18, B -f- j A = 18 -f- 2 = 20, während
wieder 17 kommen sollten, das ist abermals ein Ueberschnss e 2 = 20
— 17=3. Da Leonardo für den ersten Fall, welcher bei zwei
maligem Ueberschiessen hier zutrifft, die Proportion {e x — e.,) : c 2
= {n 2 — n x ):[A— n) angegeben hat, so wäre es vollkommen genügend,
wenn er nur die Zahlenwerthe einsetzend (14 — 3): 3 = (8 — 4):(M — 8)
oder 11 : 3 = 4 : (A — 8) hätte rechnen lassen. Aber es ist, als
wenn er schon Ueberdruss empfunden hätte, seinen Lesern durch
gewohnheitsmässige Uebung eines und desselben Verfahrens das
Denken zu ersparen. Nach Angabe der beiden Fehler 14 und 3,
welche die Annahmen 4 und 8 zur Folge haben, fährt er nämlich,
das weitere Verfahren begründend, also fort: 3 ) Für 4 Einheiten,
welche wir dem Ersten A mehr geben (8 anstatt 4), näherte sich die
zweite Zahl B um 11 der Wahrheit (3 anstatt 14), und es ist nur
noch eine Annäherung au dieselbe um 3 erforderlich. Mithin ist
3 mal 4 getheilt durch 11 dem A noch beizufügen, das beträgt 1™ •
Von 9“ bis zu 14 sind es aber 4^, und das ist ein Drittel des Ver
mögens des B, welches mithin 14™ beträgt.
Der vierzehnte Abschnitt führt zu den Wurzelgrössen. Bei
der Quadratwurzelausziehung ist namentlich auf solche Zahlen
Rücksicht genommen, welche keine vollständigen Quadrate sind, bei
denen folglich nur eine Annäherung an das wahre Ergebniss vor
genommen werden kann. Jede Annäherung vollzieht sich der Natur
der Sache nach in einzelnen Schritten, deren jeder dem gewünschten
*) Leon. Pisano I, pag. 322-336. 2 ) Ebenda pag. 336—352, 3 ) Ebenda
pag. 337, Z. 4.
