§§ 428—429 
IV, 2. Quaternionen. 
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<£(Va ■ Wb) = — (ßjfej 4 a 2 & 2 + «A), 
^ • ^6) = h 0 2 & 3 — «A) + h («A — «A) + % OA — «A)- 
Es wird also 
cT«& = a A — («A 4 «A 4 a 3 & 3 ), 
Vah = i x [(«A + «A) + OA — a 3 & 2 )] 
+ « 2 [AtA + ^A) + (% \ — a i ^3) 1 
4 ¿ 3 [OA + «A) + (4 h ~ f h M] • 
Man sieht sofort, daß 
c?ah = $ha, 'tyah =J= Vha 
ist. Im allgemeinen hängt also der Wert eines Produktes von der 
Reihenfolge der Faktoren ab. Damit ah gleich ha sei, ist notwendig 
und hinreichend, daß 'tya -Vh skalar ist, d. h. daß die vektoriellen 
Teile von a und von h dieselbe Richtung oder entgegengesetzte Rich 
tungen haben. Weiter unten werden wir die Multiplikation der Qua 
ternionen auf der Kugel interpretieren. 
429. Bemerkungen, a) Das Produkt von zwei konjugier 
ten Quaternionen ist gleich dem Quadrat des gemeinsamen 
Moduls. In der Tat ist 
a • a = (cfo 4 (cTa — = (cft*) 2 — (Va) 2 
= a 0 2 4 % 2 4 « 2 2 + a 3 2 = W- 
b) Die konjugierte von dem Produkt zweier Quater 
nionen ist gleich dem Produkt der konjugierten dieser Qua 
ternionen, geschrieben in iimgekehrter Reihenfolge. Beachtet 
man in der Tat, daß nach der Definition 
of*« = c?a, Vä = — Va 
ist, so liefern die Formeln (5) 
. h) = q?a ■ c?h 4 c?(JVa ■ Vh) = c?ah = o<?ba, 
^(g . 6) = V(ä^h 4 h£a) 4 V(Va ■ Vb) 
= -V(aJb 4 h£a) -V(Vh- Va) = - Vha, 
mithin _ 
ä ■ h = oT&a — Vha = ha. 
c) Der Modul eines Produktes ist gleich dem Produkt 
der Moduln der Faktoren. In der Tat ist nach den vorigen Be 
merkungen 
|a&| 2 = ah • ah — a ■ hh • ä = aä ■ \h\ 2 = |«| 2 • \h\ 2 , 
mithin \ah\ — \ a\ ■ |&|. Aus diesem Satze läßt sich, wenn man be 
merkt, daß zum Verschwinden einer Quaternion das Verschwinden