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IY, 2. Quaternionen. 
§§ 433—435 
433. Aus der letzten Formel läßt sich leicht eine andere ab 
leiten, die man in der Quaternionenrechnung häufig braucht. Ver 
suchen wir den vektoriellen Teil des Produktes von Vah mit Vcd 
auszudrücken unter der Annahme, daß a, h, c, d Vektoren sind. 
Offenbar ist 
Vahc = ^[oT(a&) • c + V(ah) ■ c] = cM -f ^[^(a6) • c], 
mithin wird die Formel (6) 
(7) ^(ah) • c] = acPhc — &oTca. 
Nun beachte man, daß 
q?hcd = 3(h3cd + hVcd) = ^(hVcd) 
ist. Verwandelt man also in der Relation (7) c in Vcd, so kommt 
V (Vah • tycd) = a$hcd — ha?acd. 
434. Formel von Moivre. Die teilweise Analogie der Quater 
nionen mit den gewöhnlichen komplexen Zahlen tritt deutlich hervor, 
wenn man nach Fixierung des Einheitsvektors A nur die Quaternionen 
betrachtet, die k als Achse haben. Alsdann gelten alle gewöhnlichen 
Rechnungsregeln, und man hat z. B. 
(cos ß -f k sin 9) (cos 6' -f- k sin 9') (cos 9" + Ä sin 9") . .. 
= cos (9 -f 9' + 9" + • • •) -f k sin (9 -(- 9' + 9" + • • •) • 
Insbesondere ist für ganzes positives n 
(cos 9 -f k sin 9) n = cos n9 -f k sin n 9. 
Es ist ferner leicht, dieses Resultat in der bekannten Weise (§ 393) 
auf den Fall eines beliebigen n auszudehnen. 
435. Theorem von Hamilton. Der Vektor u wird, wenn 
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er sich um die Achse k um 9 dreht, t 2 ur 2 , wo t den Versor 
cosö + Asinö darstellt. 
Es seien a und h die Vektoren, welche man durch Projektion 
von u auf die Achse k und auf die zu k senkrechte Ebene erhält, 
sodaß u = a + h ist. Wenn die Ebene der Vektoren k und u sich 
um 9 um die Achse k dreht, so bleibt der Vektor a ungeändert, 
während der Vektor h in ht übergeht (§ 430). Also bringt die 
Drehung u mit dem Vektor v — a -j- hx zur Deckung. Es handelt 
sich darum a und h als Funktionen von u, k, 9 zu berechnen. Da 
A 2 = — 1 ist, so hat man identisch 
u — — k 2 u = — AqTAm — kVku. 
Wir haben in § 427 gesehen, daß die Projektion von u auf A gleich 
— qTAm ist, und diese Zahl stellt daher den Modul des Vektors a