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Erster Theil. Differential -Rechnung. 
Punkt eine den Bereich, P durchsetzende Curve KL. Da y 
dabei eine Function von x ist, so erscheint z = fix, y) in 
dieser Auffassung als Function von x allein, und ist es eine 
stetige Function von x (17), so beschreibt der Punkt x/y/z oder 
F eine Curve im Raume; wir wollen dann sagen, z — f(x, y) 
sei längs der Curve KL stetig. 
Ist z = f(x, y) längs jeder den Bereich P durchsetzenden 
Curve stetig, so heisst f(x, y) eine im Bereiche P stetige Function. 
Von den Eigenschaften einer solchen Function heben wir 
die folgende hervor. 
Wenn die Function fix, y) in dem Bereiche P stetig ist, so 
lässt sich an jeder Stelle x/y innerhalb des Bereichs zu einem 
beliebig Mein festgesetzten 'positiven s ein hinreichend Meines posi 
tives rj bestimmen derart, dass für jede Wertverbindung x/y, 
für welche \x'— x ] < rj und | y — y \ < rj, 
(1) 1 f{x, y) — f{x, y) 1 < s. 
In der geometrischen Darstellung hat dieser Satz die Be 
deutung, dass zu dem Punkte M(x/y) als Mittelpunkt eine 
Umgebung aß yd in Form eines Quadrates von einer so kleinen 
Seite 2rj sich construiren lässt, derart, dass der zu einem be 
liebigen Punkte M' dieser Umgebung gehörige Functionswert 
sich von dem zu M gehörigen dem Betrage nach um weniger 
als s unterscheidet. 
Die Richtigkeit des Satzes geht aus der Definition der 
Stetigkeit im Bereiche P hervor. Auf jeder durch P geführten 
Richtung lässt sich zu jeder Seite von M ein Grenzpunkt, 
M 1 zur einen, M. 2 zur andern, angeben, derart, dass für jeden 
zwischen M 1} M 2 auf dieser Richtung liegenden Punkt die 
Beziehung (1) gilt (17 (1)). Denkt man sich dies für alle 
Richtungen ausgeführt, so wird es unter den Grenzpunkten 
einen geben, welcher am wenigsten von M ab weicht, und 
dieser bestimmt die verlangte Umgebung*). 
Man bezeichnet die in dem Satze ausgesprochene Eigen 
schaft als Stetigkeit der Function fix, y) an der Stelle x/y; 
*) Man lege durch diesen Punkt einen Kreis vom Centruin M und 
schreibe diesem ein nach den Axen orientirtes Quadrat ein.