Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Yariabeln. 93 
gewöhnlich nimmt man sie zum Ausgangspunkte und erklärt 
dann fix, y) als stetig im Bereiche P, wenn es an jeder Stelle 
desselben stetig ist. Übrigens kann man den Inhalt des Satzes 
auch in der Form ausdrücken, es sei der zu der Stelle xjy 
gehörige Functionswert f\x, y) der Grenzwert von fix, y) bei 
beliebiger unaufhörlicher Annäherung von xjy an xjy, in 
Zeichen 
(2) lim fix, y) = f(x, y) . 
x'=x, y'—y 
Ist f\x, y) eine in dem Bereiche P stetige Function, so 
ist der Ort der Punkte F, welche die Werte der Function in 
dem oben entwickelten Sinne darstellen, eine Fläche und 
z = fix, y) wird die Gleichung dieser Fläche genannt. 
Von einer Function u = Ofa, x % ,. . . x n ), welche für 
einen gewissen Bereich der n Yariabeln x 1: x 2 , . . . x n eindeutig 
definirt ist, wird man in Analogie mit der für eine Function 
zweier Yariabeln hervorgehobenen Eigenschaft sagen, sie sei 
an der Stelle xjxj.. . ¡x n stetig, wenn sich zu einem beliebig 
kleinen positiven s ein hinreichend kleines positives rj so be 
stimmen lässt, dass für jede Wertverbindung xf/xf/.../x n , für 
welche 
I xf x 1 \<rj, 1 xf x 2 \< rj , . . . \ x n x n \<7], 
die Beziehung besteht 
I ffxf, xf, . . . X,i) — f(x lf x 2 , ... X n )\ < £■ 
und die Function wird weiter als stetig im Bereiche gelten, 
wenn sie es an allen Stellen ist. 
45. Es sei z — fix, y) eine im Gebiete P stetige Func 
tion; verfolgt man ihren Yerlauf bei einem feststehenden Werte 
von y, also längs einer Geraden, welche das Gebiet P parallel 
zur X-Axe durchsetzt, so verhält sie sich wie eine Function 
von einer Yariabeln und es können die für solche Functionen 
aufgestellten Begriffe zur Anwendung kommen. 
Erteilt man, von einem bestimmten Werte x ausgehend, 
demselben eine Änderung 
Bx = h, 
so erfährt die Function die partielle Änderung 
(1) B x z = fix -f h, y) — fix, y);