Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Yariabeln. 99 
statten fast wörtliche Übertragung. Die von dem Punkte M 
des Raumes, welcher der Wertverbindung x/y/x der Yariabeln 
zugeordnet ist, ausgehende Richtung M(ß) sei durch die 
Winkel cp, -ip, i charakterisirt, welche sie mit den positiven 
Halbaxen des (orthogonalen) räumlichen Coordinatensystems 
einschliesst, und werde mit der entgegengesetzten Richtung 
M(ß') zusammen kurz als Richtung S bezeichnet. Dann ergibt 
sich unter Voraussetzung der Stetigkeit der partiellen Diffe 
rentialquotienten ~ der totale Differentialquotient in 
der Richtung S 
(9) 
du 
ds 
du .du , . du 
a— cos cp -f- x— cos xh -4- -5— cos y 
dx ^ dy 1 dz K 
und daraus das totale Differential 
(10) i* * = i £dx + d £äs+ ä,, 
also 
(10*) du = d x u -j- d y u -f- d z ii, 
wobei die Richtung eindeutig bestimmt ist durch 
dx dy 
1 }/dx* -f dy* + dz*\ \Ydx* -f dy* -f dz*\ 
dz 
\Ydx* + dy* + dz*\ 
COS 
= COS 1p } 
Bei einer Function u = f(x l , x 2 , . . . x„) von n (> 3) Varia 
bein hört auch die Möglichkeit der geometrischen Darstellung 
des Bereiches R auf; man behält aber die geometrische Aus 
drucksweise bei, ordnet der Wertverbindung xjx 2 /.. ./x n einen 
Punkt M im n-dimensionalen Raume zu, bezogen auf ein 
w-axiges orthogonales Coordinatensystem; spricht ferner von 
der Richtung, welche den Punkt M mit dem Punkte 
• • • x x -}- dxjx 2 -f- dx 2 /■ • • jx n -f- dx n 
verbindet und bestimmt sie durch die Richtungscosinusse 
cos <p t =T . dXl -—t7 • • • cos(p n —-r- r -~ dXn - 7 
\YdxY-\-dxY-\ {-dx} n \ \YdxY-\-dxY-\----\-dxl\ 
deren Quadratsumme 1 ist; nennt man 
ds = j ydxf* -{- dx 2 2 -( f dx\ 
die Entfernung von M zu M 1 - erklärt