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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
(11) 
du 
ds 
du .du . .du 
cos cos g> 2 h ^ COS cp n 
für den totalen Differentialquotienten von u in der bezeichneten 
Richtung (und der ihr entgegengesetzten) und 
für das zu jener Richtung gehörige totale Differential. Der in 
46 für zwei Variable formulirte Satz, dass das totale Diffe 
rential der Summe der partiellen Differentiale gleichkommt, 
behält also für beliebig viele Variable seine Geltung. 
Hat die Function u einen constanten Wert im ganzen 
Bereiche B, so ist ihr totaler Differentialquotient ~ und 
daher auch ihr totales Differential du im ganzen Bereiche 
= 0 (21). Demnach folgt aus einer Gleichung von der Form 
f{x 1 , Xi,... x n ) = c 
eine lineare Beziehung zwischen den Differentialen der Varia 
bein, nämlich 
dx 1 -J- ~ dx % -)-••• -f- dx n = 0. 
dx x 1 1 dx s 2 1 1 dx n 
49. Die Bestimmung des totalen Differentials kommt 
häufig zur Anwendung, wenn es sich darum handelt, die Ände 
rung einer Grösse zu berechnen, welche sie bei verhältnis 
mässig sehr kleinen Änderungen der sie bestimmenden Grössen 
erfährt, so zwar, dass von Grössen höherer Kleinheitsordnung 
abgesehen werden kann. 
Zur Erläuterung mögen die folgenden Beispiele dienen. 
1) Welche Änderung erfährt die Fläche eines Rechtecks 
mit den Seiten x, y, wenn diese um die sehr kleinen Grössen 
dx, dy sich ändern? 
Die Fläche ist 
1 .-i 1 . -1 du du 
daraus ergibt sich = y, 
0 dx ■ /7 dy 
du 
xy- 
— x, folglich ist 
ydx -J- xdy. 
Die Rechnung sowie eine einfache Figur belehren darüber, 
dass bei diesem Ansätze das Product dxdy vernachlässigt ist.