Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Yariabeln. 107 
und wieder zeigt es sich, dass jeder der beiden mittleren 
Differentialquotienten aus der vorangehenden Gruppe auf zwei 
Arten übereinstimmend erhalten wird. Alle höheren Differen 
tialquotienten haben den Wert Null. 
2) Die Function 
, y 
z arc tg — 
ö x 
ist für alle Wertverh in düngen mit Ausnahme von 0/0 definirt. 
Mit Ausschluss dieser Stelle hat man 
dz 
a: 2 
y 
dz _ 
dx 
+ ^ ' 
^ a; 2 
** + y* ? 
dy 
weiter 
d*g 
2 xy 
d*z _ 
dx 2 
~ (« 2 + yY 1 
dy 2 
1 
X X 
J I r* x* + ’ 
2 xy 
"F+yV’ 
und 
d* z —)— 2/ 2 — 2 y* y 2 — x 2 
äWal/ = PT?T “ WTW 
d*z a: 2 + y 2 — 2a? 2 i/ 2 — a? 2 
dydx (a; 2 -f- i/ 2 ) 2 (a? 2 -f-i/ 2 ) 2 7 
also thatsächlich 
d 2 ;z d 2 ,s 
dxdy dydx 
53. In 46 ist für den totalen Differentialquotienten in 
der Richtung S{cp, ip) einer Function z — f{x, y), welche an 
der Stelle #/?/ die beiden ersten partiellen Differentialquotienten 
zulässt, der Ausdruck 
dz dz .dz 
-j- = Ts cos <p -4- ö“ cos ib 
ds dx ^ dy 
gefunden worden; die Bildungsweise desselben spricht sich 
darin aus, dass man die partiellen Differentialquotienten mit 
den zugeordneten Richtungscosinussen zu multipliciren und die 
Producte zu addiren hat. 
Sofern nun die Function z an der Stelle x/y auch alle 
partiellen Differentialquotienten 2., 8., . . . w-ter Ordnung zu 
lässt, besitzt sie auch höhere totale Differentialquotienten in 
der Richtung S; der zweite totale Differentialquotient ist 
dz 
d ds 
dx 
cos cp -f- 
„ dz 
d ds 
dy 
cos ; 
d~z 
ds 2