Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Variabeln. 109 
mithin auf Grund der Ergebnisse in 51 
(®) 5? - £ cos3 v+ 3 cos2 * cos * 
+ 3 d^d^ G0S(p cos ^ + ap cos 
Durch Multiplication mit <7s 3 entsteht das dritte totale 
Differential 
(7) = + 3 g|r|^ dx * d V + 3 dx d V 2 + dx \ 
wofür wieder symbolisch geschrieben werden kann 
(7*) d*z= dx + l y <ly)\. 
Die Richtung, für welche das totale Differential gilt, ist jedes 
mal bestimmt durch 
dx 
i Ydx* + dy* 
cos cp, 
dy 
| Ydx* -f- dy 2 
= cos ^ , 
Durch vollständige Induction kann das Bildungsgesetz des 
w-ten totalen Differentialquotienten und des w-ten totalen 
Differentials erschlossen werden. Wäre nämlich bekannt, dass 
d n z d n z n . 
= —— cos" cp 4- I . 
dx n r ^ Vi 
ds 
d n z 
+ 
dx n l dy 
d n z 
^ dx n ~~ 2 dy 2 
cos n ~ 1 cp cos 
d n z 
COS” -2 qp cos 2 j^ -j ( COS” ll> , 
dy n 
so folgte aus dem eben entwickelten Vorgänge 
'd n+1 z 
ds n + l Ux n+1 
d n+1 z 
cos” cp 
-f- — — cos” -1 ® cos i> -f- (”) —d z cos” -12 cp cos 2 ip -f- 
1 \1 f 7)r n 7)*, ' Y 1 \2/ 7)rr n ~ r ^ ' 
dx n dy 
+ 
Ldx n dy 
cos” cp 
dx n ~ l dy* 
f\ n + 1 z 
H COS *lb 
1 dxdy n 
8 n+1 z 
cos cp 
, (n\ d^^z , . 
+ W HaT-LSy' 
3”+!«. 
4- . , COS n lp 
^ dy n+1 
cos ^