Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Yariabeln. 111 
§ 3. Differentiation zusammengesetzter und impliciter 
Functionen. 
54. Es seien u, v,. . , eindeutige und stetige Functionen 
von x\ y — f{u, v, . . .) eine eindeutige stetige Function von 
u, v, . . .; dann ist y auch eindeutige stetige Function von x 
und wird eine zusammengesetzte Function von x genannt. 
Um ihren Differentialquotienten in Bezug auf x zu be 
stimmen, gehe man von einem Werte x aus und ertheile dem 
selben eine Änderung Ax] dadurch ändern sich auch die zu x ge 
hörigen Werte von u, v,... um Au, Av, ... und der zu diesen 
Werten u, v,. . . gehörige Wert von y um Ay, auf Grund der 
gemachten Voraussetzungen convergiren mit Ax zugleich auch 
Au,Av,... und Ay gegen den Grenzwert Null. Nun besteht 
zwischen Au, Av, . . . und Ay die Beziehung 
Ay — f(u -f- Au, v -f- Av, . . .) —/(m, v, . . .); 
die rechtsstehende totale Differenz unterscheidet sich von dem 
totalen Differential — und ein solches ist vorhanden, wenn 
f(u, v, . . .) an der betrachteten Stelle partielle Differential 
quotienten nach u, v, . . . besitzt — um Grössen höherer Klein 
heitsordnung als Au, Av, . . ., sodass 
£ i ziu + hAv -j- • • •, 
wobei £ 1; f 2 ,... Grössen bedeuten, welche mit A u, Av,... zugleich 
gegen Null convergiren. Die Änderungen Au, Av,... von u,v,... 
ihrerseits unterscheiden sich von den betreffenden Differentialen 
— und solche sind vorhanden, wenn u, v,. .. an der Stelle x 
bestimmte Differentialquotienten besitzen — um Grössen höherer 
Kleinheitsordnung als Ax, so dass 
Au = j-'Jx + rj 1 Ax 
4 v = 
wenn unter rj 1} rj 2 . . . mit Ax gleichzeitig gegen Null conver- 
girende Grössen verstanden werden. Wird dies in die voran 
gehende Gleichung eingetragen, so kommt