114 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Dritte 
Man versteht unter einer homogenen Function n-ten Grades 
mehrerer Yariabeln x,y,z,... eine solche Function f= f(x, y 7 z,...), 
welche die Eigenschaft besitzt, dass 
(5) f{tx, ty, tz,...) = Pfip, V, 
wobei t jede beliebige von Null verschiedene endliche Zahl 
bedeuten kann. 
Solcher Art sind beispielsweise die Functionen 
<p{x, V) = «iix 2 -f 2a 12 xy -f a 22 y 2 
y) = Vx + Vy 
l(x,y) = arctg-| 
nnd zwar die erste vom Grade 2, die zweite vom Grade die 
dritte vom Grade 0. 
Betrachtet man in der Gleichung (5) t allein als variabel, 
setzt vorübergehend 
tx = u, ty — v, tz — w, . . . 
und differentiirt beide Theile in Bezug auf t, so hat man links 
die Formel (1) zur Anwendung zu bringen und erhält so 
d f(u, v, w, ...) du . df(u, v, w,...) dv , df(u,v,w,...)dw . 
du dt "f" dv dt ' dw dt ' 
= nt n ~ 1 f; 
. , , du dv dw j , , 
nun ist aber — x, = y, — z, . . . und setzt man, 
nachdem dies eingetragen worden ist, t = 1, wodurch u = x, 
v = y, w — z wird, so kommt 
(6) Ss*+I£*+I£'+--— 
Multiplicirt man also die partiellen Differentialquotienten 
einer homogenen Function nach den einzelnen Variabein mit 
diesen Variabein selbst, so ist die Summe der so gebildeten Pro 
ducte die mit dem Homogenitätsgrade vervielfachte Function. 
In den oben zusammengestellten Beispielen hat man 
= 2a n x -f- 2a n y, — 2a n x -\- 2a 22 y, 
|| x + ||y = 2a n x* + 4a l2 xy + 2a 22 y 2 = 2cp, 
dy> 
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