Dritter Abschnitt. Differentiation von Functionen mehrerer Yariabeln. 117 
costó 1 . k dy 
= lim -j- = -5—} 
■ cos A== + 0 " 
so fällt die voranstehende Gleichung mit der Gleichung (8) 
zusammen. 
Die Gleichung (8) bezeichnen wir als das Ergebnis der 
Differentiation der Gleichung (7) in Bezug auf sie wird 
gebildet, indem man die linke Seite von (7) zuerst partiell 
nach x differentiirt, dann den partiellen Differentialquotienten 
nach y mit dem Differentialquotienten von y nach x multipli- 
cirt und die Summe beider Ausdrücke gleich Null setzt. 
Wendet man die gleiche Regel auf die Gleichung (8) an, 
so ergibt sich unter Voraussetzung der Existenz der zweiten 
partiellen Differentialquotienten von f{x, y) 
d lL J!L ¿i i K <^1 i [J!L _i_ d 2L *iL]*y = o 
dx 2 "r" dx dy dx ' dy dx 2 ' Ldxdy ' dy 2 dxJ dx 
oder, wenn man die mögliche Reduction ausführt, 
/1 8 2 f ■ 0 d 2 f dy . d*f (dyV . df 
^ ' dx 2 ' dxdv dx ' dv 2 \dx/ ' dy 
df d^y 
dy dx 2 
d 2 y 
dxdy dx 1 dy 2 
aus welcher Gleichung sich eine Bestimmung für ergibt, 
nachdem man für den Wert (9) eingesetzt hat. 
'if 
Behufs Ermittelung des dritten Differentialquotienten 
müsste die Gleichung (10) abermals in Bezug auf x differentiirt 
werden u. s. w. 
Ist durch die Gleichung (7) y als mehrdeutige Function 
definirt, so setzen wir voraus, dass die Werte von y nach dem 
Gesetze der Stetigkeit in Zweige gesondert sind, d. h. so, dass 
y mit x stetig sich ändert (10). Die obige Rechnung erledigt 
die Frage nach den Differentialquotienten von y für alle Zweige 
zugleich; die Trennung der Zweige erfolgt erst dann, wenn 
eine bestimmte Stelle ins Auge gefasst wird, insofern dieselbe 
dann auch einem bestimmten Zweige angehören muss. 
57. Die folgenden Beispiele dienen zur Erläuterung des 
Vorgeführten. 
1) Durch die Gleichung 
X 2 y 
a 2 b 2 
1 = 0