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Erster Theil. Differential - Rechnung, 
dy 
dy du 
dx dx 
du 
(3) 
dx d*y d*x dy 
d*y du du* du 2 du 
dx* idx'Ÿ 
\du) 
ein , so ist die gestellte Aufgabe gelöst. 
Yon den Transformationsgleicbungen (1) wird voraus 
gesetzt/ dass sie umkehrbar eindeutig sind; das bedeutet so 
viel, dass nicht allein <p, eindeutige Functionen der Argu 
mente u, v, sondern dass auch u, v als eindeutige Functionen 
von x, y bestimmt sind; wäre 
u = cp^x, y) 
v = ip x {x i y) 
diese Bestimmung, so heisst (1*) die inverse Transformation 
zu (1). 
Bei geometrischer Interpretation lassen die Gleichungen 
(1) und (1*) zwei wesentlich verschiedene Deutungen zu, 
welche kurz auseinandergesetzt werden sollen. 
I. Sind x, y die Coordinaten eines Punktes M der Ebene 
in Bezug auf ein bestimmtes, z. B. rechtwinkliges Coor- 
dinatensystem und u, v die Coordinaten desselben Punktes in 
Bezug auf ein zweites System, so bestimmen die Gleichungen 
(1) und (1*) eine Coordinatentransformation und vermitteln 
insbesondere die Gleichungen (1) den Übergang vom ersten 
System zum zweiten, die (1*) den Übergang vom zweiten zum 
ersten. Geht durch den Punkt M eine Curve, so bestimmt 
~ die Richtung der Tangente an dieselbe (22, 2)) und ist 
^ JLtlXVV-UL LI U.XJL£^ JL «JXlg ^ JJL OiXX UlCOUlUti \ y LU) ) UliU lOl 
für die nämliche Richtung bestimmend, jedesmal in einer 
du 
dem Coordinatensystem entsprechenden Weise. 
Einen der wichtigsten Fälle dieser Art bildet die Trans 
formation rechtwinkliger Coordinaten in Polarcoordinaten, wo 
bei der Ursprung und die positive Abscissenaxe des ersten 
Systems als Pol, beziehungsweise Polaraxe verwendet werden,