154 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
bilden eine steigende Folge von Zahlen, bei welcher nur 
zweierlei eintreten kann: entweder bleiben alle Glieder unter 
einer festen positiven Zahl und nähern sich dann nothwendig 
mit beständig wachsendem Zeiger einer bestimmten Grenze, 
welche jener Zahl höchstens gleichkommt — die Reihe ist 
dann convergent; oder sie werden schliesslich grösser als jede 
beliebige positive Zahl — die Reihe hat dann den Grenz 
wert + OQ. 
Hieraus folgt, dass die Convergenz einer Reihe mit posi 
tiven Gliedern erwiesen ist, sobald es gelingt zu zeigen, dass 
s n für jedes n unter einer Zahl A verbleibt; unter dieser Zahl 
bleibt dann auch die Summe beliebig vieler aus der Reihe 
herausgegriffener Glieder. 
2) Ist eine JReihe mit durchwegs positiven Gliedern conver 
gent, so bleibt sie es auch, wenn man die Glieder anders an 
ordnet, und behält denselben Grenzwert. 
Würde sich die Änderung der Anordnung blos auf einen 
endlichen Abschnitt der Reihe beziehen, so bedürfte der Satz 
keines Beweises. Die Änderung soll sich aber auf die Reihe 
in ihrem ganzen Verlaufe erstrecken, d. h. ist 
(10) a 0 -f- a x -f- a, 2 
die ursprüngliche und 
(11) Cia 0 “f- ¿*«1. + “f - ‘ 
die transformirte Reihe, so soll zwischen den Zeigern i und 
cci eine eindeutige Beziehung solcher Art bestehen, dass mit i 
zugleich auch a ; , über jeden Betrag wächst; dann enthält die 
Reihe (11) alle Glieder von (10) und nur diese. 
Bezeichnet s den Grenzwert von (10), so ist jede Partial 
summe von (11) kleiner als s, weil sie aus Gliedern von (10) 
besteht; demnach ist (11) thatsächlich convergent. 
Man wird ferner, wie gross auch n ist, so viele Glieder 
vom Anfang der Reihe (11) nehmen können, dass sich darunter 
die n + 1 ersten Glieder von (10) befinden; die zugehörige 
Partialsumme 6 a von (11) setzt sich dann folgendermassen 
zusammen: 
(12) <3a m = Sn + CLn + ß, + +•••+■ a n + Pn’