Vierter Abschnitt. Reihen. 
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indem sie ausser den n~(-1 ersten Gliedern von (11) noch Glieder 
mit höheren Zeigern als n umfasst-, in Folge dessen ist 
6a m —s n —a n +ß 1 -\-(*' n +ß i , H h /9p——r n ] 
mit zunehmendem n wächst zugleich die Anzahl der Glieder 
von 6 a über jene Grenze hinaus und sinkt der Rest r n unter 
jeden positiven Betrag; folglich ist für lim n = -j- oo 
lim 6 a = lim s n , 
also 6 — s, wenn mit <? der Grenzwert von (11) bezeichnet 
wird. 
Dass eine divergente Reihe aus positiven Gliedern diver 
gent bleibt, wenn man ihre Glieder anders anordnet, folgt 
daraus, dass vermöge (12) 
0a m > Sn > 
und dass s n mit wachsendem n grösser wird als jede beliebige 
positive Zahl. 
8) Wenn man in einer convergenten Reihe aus positiven 
Gliedern die Glieder gruppenweise zusammenfasst und aus den 
Summen dieser Gruppen eine neue Reihe bildet, so ist diese 
ebenfalls convergent und hat denselben Grenzwert wie die ur 
sprüngliche. 
Denn die Partialsummen der neuen Reihe kommen unter 
den Partialsummen der ursprünglichen Reihe vor und nähern 
sich daher der nämlichen Grenze wie diese. Diese Schlussweise 
zeigt übrigens, dass der Satz für jede convergente Reihe gilt. 
Dass aus einer divergenten Reihe mit positiven Gliedern 
durch den beschriebenen Vorgang wieder eine divergente Reihe 
entsteht, erkennt man auf die nämliche Art. 
Umgekehrt bleibt eine convergente Reihe aus positiven 
Gliedern auch dann convergent, wenn man einzelne oder alle 
Glieder in Summen positiver Zahlen auflöst. 
Die Eigenschaften 2) und 3) begründen eine vollständige 
Analogie zwischen unendlichen Reihen mit positiven Gliedern 
einerseits und endlichen Summen andrerseits; sowie der Wert 
der letzteren unabhängig ist von der Anordnung und gruppen 
weisen Zusammenfassung der Summanden, ist dort der Grenz 
wert unabhängig von der Anordnung und gruppenweisen Zu