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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
dann bedingt convergent. Sie erfüllt die Bedingung 69, (7) und 
insbesondere ist auch lim a n = 0, die aus den Absolutwerten 
OT = + cp 
der Glieder gebildete Reihe dagegen hat den Grenzwert -{- oo. 
Während also eine absolut convergente Reihe schon ver 
möge der Grösse ihrer Glieder convergirt, tritt dies bei einer 
bedingt convergenten erst durch den Wechsel des Vorzeichens 
ein. Von den bedingt convergenten Reihen gilt nun der fol 
gende Satz: 
Der Grenzwert einer bedingt convergenten Beihe ist abhängig 
von der Anordnung der Glieder; man kann ihn durch ent 
sprechende Beihung der Glieder jeder beliebigen Zahl A gleich 
machen. 
Es sei wieder (15) die gegebene Reihe, welche als con 
vergent vorausgesetzt wird, während die aus ihr abgeleitete 
(16) jetzt divergent ist. Infolge dessen müssen auch beide 
Reihen (17) und (18) divergent sein; denn wäre es nur eine 
von beiden, so würde sich aus der immer noch zurecht be 
stehenden Beziehung (19) für lim n — ~f- oo entweder s — -f- oo 
oder s = — oo ergeben, je nachdem man (17) oder (18) diver 
gent annähme; beides steht im Widerspruche mit der Voraus 
setzung. 
Welches nun auch die Zahl A ist (die wir zunächst als 
positiv uns denken wollen), so lässt sich die Reihe (17) vom 
Anfang aus in Gruppen G 0 , G 1} 6r 2 ,.,. und die Reihe (18) 
in Gruppen G 0 ', Gj, G 2 ', .. . *) zerlegen derart, dass 
G 0 > A, 
während sich die Ungleichheit umkehrte oder in eine Glei 
chung verwandelte, wenn man das letzte Glied der Gruppe G 0 
ausliesse; dass ferner 
G 0 -G'<A,- 
während sich die Ungleichheit bei Fortlassung des letzten 
Gliedes der Gruppe G 0 ' umkehrte oder in eine Gleichung ver 
wandelte; dass weiters 
G 0 — G 0 '~j- G x > A 
*) Die Buchstaben sollen zugleich die Summen der betreffenden 
Gruppen, die unter Umständen auch eingliedrig sein können, bezeichnen.