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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
und negativen Gliedern in unbeschränkter Anzahl nur dann 
bei jeder Anordnung der Glieder convergent ist und denselben 
Grenzwert besitzt, wenn sie absolut convergivi. 
Über die Addition und Subtraction convergenter Reihen 
wurde in 70, 2) ein Satz aufgestellt, der für absolut conver 
gente Reihen eine Erweiterung dahin erfährt, dass die Glieder 
der beiden gegebenen Reihen in beliebiger Reihenfolge durch 
Addition respective Subtraction zu einer Reihe verbunden werden 
dürfen, und dass diese immer gegen die Summe, respective die 
Differenz der Grenzwerte der gegebenen Reihen convergirt. 
Für absolut convergente Reihen gilt aber auch ein Mul 
tiplicationstheorem, das folgendermaassen lautet: Sind die Reihen 
GO Go 
' S ^ t a n und 'y*\b n absolut convergent und s, t ihre Grenzwerte, 
o o 
co 
so ist auch die Reihe ^Jc n mit dem allgemeinen Gliede 
c n = a§b n -{- a\h n —\ -f- aib n — 2 -f- • • • -h a nbo 
convergent und st ihr Grenzwert. 
Bildet man nämlich das Product 
s n t n — (ao -j- a\ -)- • • • -f- an)(ho -j- b\ -j- • • • 4" ^«) 
aus den Partialsummen der n -f- 1 ersten Glieder der beiden 
gegebenen Reihen und vergleicht dasselbe mit der Partialsumme 
Uin — Co -f- Ci -f- * • • -f- Cin 
oo 
der 2n -f- 1 ersten Glieder der neuen Reihe ^ c n , so zeigt 
o 
sich folgendes: Alle Bestandtheile des erstgedachten Productes 
kommen in u- 2n vor; es enthält aber u 2n überdies alle jene 
Producte von der Form a^ b v , in welchen einer der beiden 
Zeiger g, v die Zahl n überschreitet, die Summe g -j- v beider 
Zeiger aber nicht über 2n hinausgeht; diese überschüssigen 
Glieder von u- 2n gestatten folgende Anordnung 
a n +1 (po -j- bi -f- • • • -j- i) H~ bn+i (uo —f— —f- - • - —f- a n —\) 
-f- a n+2 (po -(- bi -(-••• -|- b n —2) -j- b n +i(ao -j- a\ -f- • • • -j- a n —2) 
-f- a n +3(60 + -f h b n —3) -j- &«+3 (®o + .«1 H h u n —3) 
-j- a 2n bo 
-(- binUf)