Vierter Abschnitt. Reihen. 
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oder 
№ji+i4-1 + Mn+ztn— 2 ~h ' ■ ■ 4“ ¿*2«^ 
4~ fr«-fl S « —1 4“ fr«+2S« —2 4" • ' • 4~ hünSo- 
Mithin ist 
| W2 w — S«£« | ^ [ dn+1 | I in — 1 | 4" I tt « + 2 | | in—2 14 4" | a 2n [ | fr)| 
4" I fr«+111 Sn—i j 4" 1 hn+211 $«—21 4 Hl ^2 n | | $o|; 
weiters gilt für jedes m — 1 
| S m | < | «0 1 4“ I a x 14 h I «»—i | 
1 im 1 < 1 &0 1 4“ 1 frl 1 4" • • * 4" i fr«— 1 1 
wobei das Ungleicbheitszeichen nur im Falle m — n — 1 in 
ein Gleichheitszeichen übergehen kann; daher ist in verstärktem 
Maasse 
1 % «— S n in 1 < (jfro 1 4" 1 frl 1 4 hl fr«—11) (i a n+1 i 4- I a n+ 2 14 h 1 a 2« 1) 
4-(W 4-Kl 4—h \ a n—x|)(| fr«+l i+l fr«-)- 2 I+-+1M); 
die ersten Factoren der beiden rechtsstehenden Producte con- 
00 
vergiren wegen der vorausgesetzten Convergenz von 
o 
CO 
mit wachsendem n gegen bestimmte endliche 
o 
Grenzen, die zweiten Factoren sinken schliesslich aus dem 
nämlichen Grunde unter jeden noch so kleinen positiven Be 
trag herab (69); daraus folgt, dass der ganze rechtsstehende 
Ausdruck mit wachsendem n schliesslich kleiner wird als jede 
noch so kleine positive Zahl; deshalb ist 
lim 1 u-2n s n i n | — 0, 
also 
lim u% n — st. 
Damit ist aber die Convergenz der Reihe /,G n und st 
als ihr Grenzwert erwiesen. 0 
75. Unter den Reihen mit positiven und negativen Gliedern 
sind die alternirenden Reihen, bei welchen positive und nega 
tive Glieder miteinander abwechseln, besonders bemerkenswert. 
Für solche Reihen gibt es ein in vielen Fällen brauchbares 
Convergenzmerkmal, das in dem folgenden Satze enthalten ist.