Vierter Abschnitt. Reihen. 
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und wenn diese, so ist es auch die Reihe (34), weil nach der 
getroffenen Voraussetzung di < 0, die Glieder von (34) kleiner 
sind als die correspondirenden Glieder der letztangeschriebenen 
Reihe (72, 1)). Und ist die Reihe 
a o + a i 4" a 2 + • ' * 
divergent, so ist es auch (34), weil die Glieder von (34) grösser 
sind als die entsprechenden Glieder dieser Reihe. 
Hiermit ist der Satz in seinem ganzen Umfange erwiesen. 
Dass auch ein unendliches Product dieser Zusammensetzung 
seinem Grenzwerte nach unabhängig ist von der Anordnung 
der Factoren, ergibt sich durch denselben Schluss wie unter 1). 
3) Sind die ai verschieden bezeichnet und positive wie 
negative in unbegrenzter Anzahl vorhanden, so ist das Product 
co 
№ -f- Uf) convergent und seinem Grenzwerte nach unab- 
o 
00 
hängig von der Reihenfolge der Factoren, wenn die Reihe 
* o 
absolut convergent ist, d. h. wenn auch 2 | cci j convergirt. 
0 
co 
Das Partialproduct p n von m -(- df) enthalte n Fac- 
o 
toren mit positiven cci — ihr Product heisse II n ' — und n" 
Factoren mit negativen cc, : — ihr Product heisse II n ’; dann 
ist n -f- n" = n und 
Pn — F n ' IIn' j 
mit n wachsen zugleich n, n" über jede natürliche Zahl hinaus. 
Ist nun, wie vorausgesetzt wurde, 
di absolut convergent 
; 
o 
so convergirt (73) die Reihe aus den positiven und mit ibi 
dem Falle 1) zufolge auch das Product U n ' nach einem von 
der Ordnung der Factoren unabhängigen Grenzwerte 77'; es 
convergirt aber auch die Reihe aus den negativen und mit 
ihr dem Falle 2) zufolge auch das Product Il'f" nach einem 
von der Ordnung der Factoren unabhängigen Grenzwerte II ". 
co 
Demzufolge hat auch das Product IP -f- bei jeder An- 
0 
Ordnung seiner Factoren einen und denselben Grenzwert 
p = n" n".