Vierter Abschnitt. Reiben. 
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x, von welcher man sagt, sie sei durch die unendliche Reihe 
(2) defiuirt. Bezeichnet man diese Function mit fix), so gilt 
für alle Werte x aus dem Intervall («, ß) 
CO QO 
(3) fix) = ^u n =^fn 0) . 
o o 
Hiermit ist dem Begriffe nach folgendes ausgesagt: Ist x 
ein Wert aus (a, ß), so lässt sich zu einem beliebig klein 
festgesetzten positiven s eine natürliche Zahl m bestimmen 
derart, dass 
(4) 1 u n+1 -f- 2 »+i> I < £ 
für und jeden Wert von p aus der natürlichen Zahlen 
reihe, dass also auch insbesondere der zu der Partialsumme 
(5) s n (x) — Uo -j- Ui -}-••• -j- u n 
gehörige Rest 
(6) r w (ir) = -j- U n + 2 -I 
für n > m seinem Betrage nach kleiner ist als s. Die Par 
tialsumme s n ix) stellt dann für den betrachteten Wert x die 
Function fix) mit einem Fehler dar, dessen absoluter Wert 
unter e liegt. Man kann den Inhalt der Gleichung (3) auch 
in der Form 
(7) fix) = lim s n (x) 
« = -(-00 
darstellen; gleichzeitig findet die Beziehung 
(8) lim r n {x) = 0 
«==-(- oo 
statt. 
Die natürliche Zahl m, welche zu einem gegebenen x 
gehört derart, dass 
\r n {x) \ < s 
für jedes nj>m, wird — das liegt in der Natur der Sache — 
für verschiedene Werte von x auch verschiedene Werte auf 
weisen; das heisst mit anderen Worten soviel als, dass man, 
um einen festgesetzten Grad der Annäherung an den Grenzwert 
fix) zu erreichen, in der Folge der Partialsummen hei ver 
schiedenen Werten von x verschieden weit vorschreiten müsse. 
Gieht es aber unter den m, welche zu den Werten des x