Vierter Abschnitt. Reihen. 
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für x > 0 sind alle Functionen v endlich und stetig, ebenso 
alle Glieder der Reihe, und weil unter dieser Voraussetzung 
lim v n = 7-— = 0 ist, so hat die Reihe den von x un- 
«=+00 nx+l ’ 
abhängigen Grenzwert v 0 — 1. Für x = 0 ist lim v n — 1, 
«=+<» 
der Grenzwert der Reihe also 0. Die Reihe definirt demnach in 
dem Intervalle (0, -f- 00) eine im Allgemeinen stetige (weil 
constante) Function, die jedoch an der Stelle x — 0 unstetig 
wird *). 
Um die Art der Convergenz kennen zu lernen, bilde man 
den Rest 
r n(jv) — (^«+1 V n + 2) “h (®«+2 — ^«+3) 
und dieser hat für x > 0 den Grenzwert v n +i = —¡—^ ¡— : 
^ {n l)x 1 5 
aus der Relation 
< £ 
(n -j- 1) x -J- l 
folgt n > -— 1. Die zu e gehörige Zahl m wächst also, 
indem x sich der Grenze 0 nähert, über jeden Betrag hinaus; 
in der Nähe dieser Stelle hört die Reihe auf gleichmässig zu 
convergiren, ist es aber in jedem Intervalle (0, -f- 00), dessen 
untere Grenze 0 > 0 ist. 
82. Aus der Stetigkeit der Glieder einer convergenten 
Reihe von Functionen der Variabein x kann also auf die Stetig 
keit der durch die Reihe definirten Function im Allgemeinen 
nicht geschlossen werden; wenn jedoch die Convergenz als eine 
gl eich massige erwiesen ist, dann tritt der folgende Satz in 
Kraft: 
Wenn eine unendliche lieihe, deren Glieder stetige Func 
tionen von x sind, in dem Intervalle (cc, ß) gleichmässig conver- 
gent ist, so ist ihr Grenzwert eine in demselben Intervalle stetige 
Function von x. 
*) Im Intervalle (—00, 0) müssten die Werte 
die gegen Null bin immer dichter zusammenrücken, ausgeschlossen 
werden, weil für jeden solchen Wert eine der Functionen v und daher 
zwei Glieder der Reihe nicht definirt sind.